Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: encontrar a família de soluções (ou seja, a expressão geral para
que satisfaz essa equação). Informação relevante fornecida: a terceira derivada de
é identicamente nula em todo o domínio considerado.
Passo 2
Entendendo o que significa
.
Quando a derivada de ordem mais alta é zero, isso diz que a função de ordem imediatamente inferior é constante. Em termos simples: se então
é uma constante. Vamos aplicar isso passo a passo integrando a equação sucessivamente, lembrando que cada integração introduz uma constante arbitrária (constante de integração), porque a antiderivada não é única.
Quando a derivada de ordem mais alta é zero, isso diz que a função de ordem imediatamente inferior é constante. Em termos simples: se
Passo 3
Primeira integração: integro
em relação a
. Ao integrar ambos os lados obtemos a segunda derivada como uma constante:
onde
é uma constante real arbitrária (constante de integração).
Explicação didática: integrar significa encontrar uma função cuja derivada é a função dada. A derivada de uma constante é zero, logo se a terceira derivada é zero, a segunda derivada deve ser uma constante.
Passo 4
Segunda integração: integro
. A antiderivada de uma constante é uma função linear:
onde
é outra constante de integração.
Pequeno lembrete útil: a integral de
em relação a
é
, e sempre soma-se uma constante arbitrária.
Passo 5
Terceira integração: integro
. A antiderivada de
é
e a de
é
. Assim:
onde
é mais uma constante de integração.
Interpretação: o resultado é um polinômio de grau no máximo
. Os três constantes
são parâmetros livres que serão determinados por condições iniciais ou de contorno, se houver.
Passo 6
Renomeando constantes para simplificar a leitura (opcional, mas comum): coloque
,
e
. Assim a família de soluções fica mais compacta:
com
.
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom para a prova): diferencie três vezes o resultado para confirmar.
De fato a terceira derivada é zero, então a solução está correta.