Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime \prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u^{\prime\prime\prime} = 0
e pede: encontrar a família de soluções (ou seja, a expressão geral para u(x) que satisfaz essa equação). Informação relevante fornecida: a terceira derivada de u é identicamente nula em todo o domínio considerado.

Passo 2

Entendendo o que significa u^{\prime\prime\prime}=0.
Quando a derivada de ordem mais alta é zero, isso diz que a função de ordem imediatamente inferior é constante. Em termos simples: se \dfrac{d}{dx}v(x)=0 então v(x) é uma constante. Vamos aplicar isso passo a passo integrando a equação sucessivamente, lembrando que cada integração introduz uma constante arbitrária (constante de integração), porque a antiderivada não é única.

Passo 3

Primeira integração: integro \,u^{\prime\prime\prime}=0 em relação a x. Ao integrar ambos os lados obtemos a segunda derivada como uma constante:
u^{\prime\prime}(x) = C_1,
onde C_1 é uma constante real arbitrária (constante de integração).
Explicação didática: integrar significa encontrar uma função cuja derivada é a função dada. A derivada de uma constante é zero, logo se a terceira derivada é zero, a segunda derivada deve ser uma constante.

Passo 4

Segunda integração: integro \,u^{\prime\prime}(x)=C_1. A antiderivada de uma constante é uma função linear:
u^{\prime}(x) = C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Pequeno lembrete útil: a integral de a em relação a x é ax, e sempre soma-se uma constante arbitrária.

Passo 5

Terceira integração: integro \,u^{\prime}(x)=C_1 x + C_2. A antiderivada de C_1 x é \dfrac{C_1}{2}x^2 e a de C_2 é C_2 x. Assim:
u(x) = \frac{C_1}{2}\,x^2 + C_2 x + C_3,
onde C_3 é mais uma constante de integração.
Interpretação: o resultado é um polinômio de grau no máximo 2. Os três constantes C_1,C_2,C_3 são parâmetros livres que serão determinados por condições iniciais ou de contorno, se houver.

Passo 6

Renomeando constantes para simplificar a leitura (opcional, mas comum): coloque a=\dfrac{C_1}{2}, b=C_2 e c=C_3. Assim a família de soluções fica mais compacta:
u(x)=a x^2 + b x + c,
com a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom para a prova): diferencie três vezes o resultado para confirmar.
u'(x)=2a x + b,\qquad u''(x)=2a,\qquad u'''(x)=0.
De fato a terceira derivada é zero, então a solução está correta.

Resposta

u(x)=a x^{2} + b x + c,\quad a,b,c\in\mathbb{R}

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