Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial
- A pergunta é: encontrar a(s) solução(ões)
que satisfazem essa equação e a condição inicial.
Passo 2
Classificar a equação e preparar para resolver.
- Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear do tipo
- Aqui, comparando com a forma acima, temos
- Para resolver equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante (também chamado fator de integração). A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de .
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
- O fator integrante é dado por
- Como
, temos
Passo 4
Multiplicar a equação por
e reconhecer a derivada exata.
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
- Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em
.
- Integramos em
:
onde
é constante de integração.
- Precisamos calcular a integral
. Usamos integração por partes: tomar e . Então e . Assim
- A integral
é . Logo
Passo 6
Obter a solução geral e aplicar a condição inicial.
- Substituindo o resultado da integral em
temos
- Multiplicando por
para isolar :
- Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo :
- Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (checada para ganhar confiança).
- Calcular
:
- Calcular
:
- A condição inicial:
. Ambas conferem, então a solução está correta.