Encontre as soluções dos seguintes PVIs
u^{\prime}-u=t, u(0)=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial
u'(t)-u(t)=t,\qquad u(0)=1.
  • A pergunta é: encontrar a(s) solução(ões) u(t) que satisfazem essa equação e a condição inicial.

Passo 2

Classificar a equação e preparar para resolver.
  • Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear do tipo
u'(t)+p(t)u(t)=g(t).
  • Aqui, comparando com a forma acima, temos
p(t)=-1,\qquad g(t)=t.
  • Para resolver equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante (também chamado fator de integração). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)u(t).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
  • O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
  • Como p(t)=-1, temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int -1\,dt\right)=\exp(-t)=e^{-t}.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(t) e reconhecer a derivada exata.
  • Multiplicando a equação original por e^{-t} obtemos
e^{-t}u'(t)-e^{-t}u(t)=t e^{-t}.
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-t}u(t). De fato,
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}u(t)\big)=e^{-t}u'(t)-e^{-t}u(t).
  • Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}u(t)\big)=t e^{-t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em t.
  • Integramos em t:
e^{-t}u(t)=\int t e^{-t}\,dt + C,
onde C é constante de integração.
  • Precisamos calcular a integral \int t e^{-t}\,dt. Usamos integração por partes: tomar a=t e db=e^{-t}dt. Então da=dt e b=-e^{-t}. Assim
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}\,dt.
  • A integral \int e^{-t}\,dt é -e^{-t}. Logo
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C = -(t+1)e^{-t} + C.

Passo 6

Obter a solução geral e aplicar a condição inicial.
  • Substituindo o resultado da integral em e^{-t}u(t) temos
e^{-t}u(t)=-(t+1)e^{-t}+C.
  • Multiplicando por e^{t} para isolar u(t):
u(t)=-(t+1) + C e^{t} = C e^{t} - t - 1.
  • Agora aplicamos a condição inicial u(0)=1. Substituindo t=0:
1 = C e^{0} - 0 - 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = C - 1 \quad\Rightarrow\quad C=2.
  • Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
u(t)=2 e^{t} - t - 1.

Passo 7

Verificação rápida (checada para ganhar confiança).
  • Calcular u'(t):
u'(t)=2 e^{t} - 1.
  • Calcular u'(t)-u(t):
u'(t)-u(t) = (2 e^{t}-1) - (2 e^{t}-t-1) = t.
  • A condição inicial: u(0)=2e^{0}-0-1=2-1=1. Ambas conferem, então a solução está correta.

Resposta

u(t)=2e^{t}-t-1

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