[9 pontos ] Equacione o plano determinado pelas retas (c1+3 t 2-3 t 1+t) e (c3 s -3 s s).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as retas

e

O assunto é geometria analítica no espaço: vamos identificar vetores diretores e um vetor normal ao plano usando produto vetorial.

Passo 2

Extraímos um ponto e o vetor diretor de cada reta. Para r1, quando t=0 temos o ponto
P=(1,2,1)
e o vetor diretor
v=(3,-3,1).
Para r2, quando s=0 temos o ponto
Q=(0,0,0)
e o vetor diretor
w=(3,-3,1).

Passo 3

Observamos que v e w são proporcionais (ambos iguais a (3,-3,1)), ou seja, as retas são paralelas. Para determinar o plano, além de v tomamos o vetor que liga Q a P:
u=P-Q=(1,2,1)
Então o plano será gerado pelos vetores v e u.

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n=vtimesu = i&j&k 3&-3&1 1&2&1 =(-5,-2,9)

Passo 5

A equação do plano, usando o ponto Q=(0,0,0), é
ncdot(x,y,z - Q)=0 Longrightarrow (-5,-2,9)cdot(x,y,z)=0
ou seja
-5x ;-;2y ;+;9z ;=;0

Resposta

-5x ;-;2y ;+;9z ;=;0

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