Prove que:
u, v é LD Long<=ftrightarrowu-v, u+v é LD.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o par de vetores vec u,vec v é linearmente dependente se, e somente se, o par vec u-vec v,;vec u+vec v também é linearmente dependente. O conteúdo aqui é definição de dependência linear e manipulação de combinações lineares.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha que vec u,vec v seja linearmente dependente. Então existem escalares alpha,beta, não ambos zero, tais que
alpha,vec u + beta,vec v = vec 0
Queremos achar coeficientes a,b, não ambos zero, de modo que
a(vec u+vec v)+b(vec u-vec v)=vec0
Note que
a(vec u+vec v)+b(vec u-vec v) =(a+b),vec u+(a-b),vec v
Basta escolher
a=alpha+beta2, b=alpha-beta2,
pois então
a+b=alpha, a-b=beta,
e
a(vec u+vec v)+b(vec u-vec v) =alpha,vec u+beta,vec v =vec0
Como alpha e beta não são simultaneamente zero, tampouco a e b serão simultaneamente zero. Logo vec u-vec v,vec u+vec v é linearmente dependente.

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que vec u-vec v,vec u+vec v seja linearmente dependente. Então existem gamma,de<a, não ambos zero, tais que
gamma(vec u-vec v)+de<a(vec u+vec v)=vec0
Calculando,
gamma(vec u-vec v)+de<a(vec u+vec v) =(gamma+de<a),vec u+(de<a-gamma),vec v =vec0
Como gamma e de<a não são simultaneamente zero, pelo menos um entre gamma+de<a e de<a-gamma é não nulo, mostrando que existe combinação não trivial de vec u e vec v que dá o vetor nulo. Portanto vec u,vec v é linearmente dependente.

Resposta

Provou-se que cada implicação vale, logo
vec u,vec v é LD Long<=ftrightarrow vec u-vec v,;vec u+vec v é LD éé

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