Prove que:
é LD
é LD.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o par de vetores
é linearmente dependente se, e somente se, o par
também é linearmente dependente. O conteúdo aqui é definição de dependência linear e manipulação de combinações lineares.
Passo 2
(
) Suponha que
seja linearmente dependente. Então existem escalares
, não ambos zero, tais que
Queremos achar coeficientes
, não ambos zero, de modo que
Note que
Basta escolher
pois então
e
Como
e
não são simultaneamente zero, tampouco
e
serão simultaneamente zero. Logo
é linearmente dependente.
Passo 3
(
) Agora suponha que
seja linearmente dependente. Então existem
, não ambos zero, tais que
Calculando,
Como
e
não são simultaneamente zero, pelo menos um entre
e
é não nulo, mostrando que existe combinação não trivial de
e
que dá o vetor nulo. Portanto
é linearmente dependente.
Resposta
Provou-se que cada implicação vale, logo