Encontre uma equação da tangente da curva num dado ponto por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando o parâmetro primeiro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da tangente de uma curva em um ponto específico usando dois métodos diferentes. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, mais precisamente, derivadas de equações paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma curva paramétrica e como usar essa derivada para obter a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva paramétrica é definida por duas funções, geralmente e , onde é o parâmetro. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico .

Passo 3

Método (a): Sem eliminar o parâmetro
Neste método, vamos direto calcular a derivada de em relação a usando a derivada paramétrica. A fórmula para a derivada é:
Vamos calcular e , e então dividir essas duas derivadas para obter .

Passo 4

Depois de encontrar , que representa a inclinação da tangente no ponto , podemos usar a equação da reta no ponto inclinado:
Isso nos dará a equação da tangente sem precisar eliminar o parâmetro.

Passo 5

Método (b): Eliminando o parâmetro primeiro
Aqui, o primeiro passo é eliminar o parâmetro para obter uma relação direta entre e . Dependendo das funções e , isso pode envolver resolver uma das equações para e substituir na outra.
Após eliminar , teremos uma função . Agora, calculamos a derivada diretamente a partir dessa função.

Passo 6

Com a derivada encontrada, que novamente representa a inclinação da tangente no ponto de interesse, usamos a mesma fórmula da equação da reta:
Aqui, é o ponto na curva onde queremos a tangente. Essa será a equação da reta tangente após eliminar o parâmetro.

Resposta

Assim, conseguimos encontrar a equação da tangente à curva no ponto dado usando dois métodos diferentes: primeiro, trabalhando diretamente com as derivadas paramétricas sem eliminar o parâmetro, e segundo, eliminando o parâmetro para obter uma relação direta entre e antes de calcular a derivada. Ambas as abordagens levam à mesma equação da reta tangente no ponto especificado.

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