9ª Questão. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado pelo método dos discos/arruelas. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da seção transversal para calcular o volume do sólido.
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
(parábola com concavidade para a direita) e
(reta), em torno do eixo
. Para isso vamos usar o método dos discos/arruelas, que consiste em considerar secções transversais perpendiculares ao eixo de rotação e integrar a área dessas secções.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, determinamos os pontos de interseção entre as curvas resolvendo
Substituindo
na parábola:
logo os pontos de interseção ocorrem em
e
.
Passo 3
Em cada
, a reta
fornece
e a parábola
fornece
Como vamos girar em torno do eixo
, o raio externo da arruela é
e o raio interno é
.
Passo 4
O volume é dado pela integral das áreas das arruelas:
Passo 5
Expandindo o integrando:
Uma antiderivada é
Passo 6
Avaliaremos de
a
: