Calcule \int_{C} \frac{1}{x-y} d s, com C o seguimento de reta y=\frac{1}{2} x-2 de (0,-2) a (4,0).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo do segmento de reta C definido por
y = \tfrac12 x - 2,
de (0,-2) a (4,0), ou seja
\int_{C}\frac{1}{x - y}\,ds.
Para resolver, vamos parametrizar a reta, calcular ds em termos do parâmetro e reescrever o integrando nessa parametrização.

Passo 2

Escolhemos como parâmetro t a própria coordenada x. Assim:
x(t) = t,\quad y(t) = \tfrac12 t - 2,
com t variando de 0 a 4. Em seguida calculamos
\frac{dx}{dt}=1, \quad \frac{dy}{dt}=\tfrac12,
de onde
ds = \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dt = \sqrt{1^2 + \bigl(\tfrac12\bigr)^2}\,dt = \frac{\sqrt{5}}{2}\,dt.

Passo 3

Agora reescrevemos o integrando \frac{1}{x-y} em função de t. Temos
x - y = t - \Bigl(\tfrac12 t - 2\Bigr) = \frac{t}{2} + 2 = \frac{t+4}{2},
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\frac{1}{x-y} = \frac{2}{\,t+4\,}.

Passo 4

Substituindo tudo na integral,
\int_{C}\frac{1}{x-y}\,ds = \int_{t=0}^{4} \frac{2}{\,t+4\,}\,\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\,dt = \sqrt{5}\,\int_{0}^{4}\frac{1}{t+4}\,dt.
Esse é um integral de função racional simples cuja primitiva é \ln(t+4). Assim,
\sqrt{5}\,\int_{0}^{4}\frac{1}{t+4}\,dt = \sqrt{5}\,\Bigl[\ln(t+4)\Bigr]_{0}^{4} = \sqrt{5}\,\bigl(\ln 8 - \ln 4\bigr) = \sqrt{5}\,\ln\!\bigl(\tfrac{8}{4}\bigr) = \sqrt{5}\,\ln 2.

Resposta

\int_{C}\frac{1}{x-y}\,ds = \sqrt{5}\,\ln 2.

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