Calcule
\int_{\gamma} x y(3 y d x+7 x d y), com \gamma a elipse 10 x^{2}+17 y^{2}=29 orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}x\,y\bigl(3y\,dx+7x\,dy\bigr)
sobre a elipse 10x^{2}+17y^{2}=29 orientada positivamente.
O método mais direto é usar o Teorema de Green, que transforma \displaystyle \oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy em \displaystyle \iint_{D}\bigl(\partial_x Q-\partial_y P\bigr)\,dA,
onde D é o interior de \gamma.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=3x\,y^{2}, \qquad Q(x,y)=7x^{2}y.
Então calculamos as derivadas parciais: \partial_x Q=14x\,y e \partial_y P=6x\,y.

Passo 3

O integrando do duplo integral é
\partial_x Q-\partial_y P =14x\,y-6x\,y =8x\,y.
Portanto
\oint_{\gamma}x\,y\bigl(3y\,dx+7x\,dy\bigr) =\iint_{D}8x\,y\,dA.

Passo 4

Note que o domínio D, a elipse 10x^{2}+17y^{2}\le29, é simétrico em relação aos eixos x e y.
Como a função x\,y é ímpar em x (ou em y), temos
\iint_{D}x\,y\,dA=0.
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\iint_{D}8x\,y\,dA=8\cdot0=0.

Resposta

0

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