(90) 3. (1,8 pts.) Determine se a função f, definida por
\begin{aligned} & f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{7 x^{2}+7 y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{7x^{2}+7y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para investigar a continuidade de f em \mathbb{R}^{2}. Para isso, vamos calcular
L = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{7(x^{2}+y^{2})}
e comparar com f(0,0)=1.]

Passo 2

Para avaliar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}}{7(x^{2}+y^{2})},
introduzimos coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
\frac{x^{3}}{7(x^{2}+y^{2})} =\frac{r^{3}\cos^{3}\theta}{7\,r^{2}} =\frac{r\cos^{3}\theta}{7}.
Como \cos^{3}\theta é limitado (entre -1 e 1), ao fazermos r\to0 vemos que
\frac{r\cos^{3}\theta}{7}\;\longrightarrow\;0.
Logo
L = 0.

Passo 3

Comparando o valor do limite com o valor da função no ponto, temos
L = 0 \quad\neq\quad f(0,0)=1.
Como o limite não coincide com f(0,0), a função não é contínua em (0,0). Em qualquer outro ponto (x,y)\neq(0,0) o denominador é não nulo e a função é dada por uma razão de polinômios, logo contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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