( 1,8 pts.) Determine e classifique os pontos
f(x, y)=3 x^{2}-2 x y+y^{2}-8 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2}-8y.
Vamos usar o gradiente para achar os pontos em que as derivadas parciais se anulam e, em seguida, a matriz Hessiana para classificar cada ponto como mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x-2y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y-8.

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo
6x-2y=0, \quad -2x+2y-8=0.
Da primeira equação vem y=3x. Substituindo na segunda:
-2x+2(3x)-8=0 \;\Longrightarrow\; 4x-8=0 \;\Longrightarrow\; x=2,
logo y=3\cdot2=6. O único ponto crítico é (2,6).

Passo 4

Montar a matriz Hessiana de f:
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\\\ -2 & 2 \end{pmatrix}.
Calcular o determinante de H:
\det H = 6\cdot 2 - (-2)^{2} = 12 - 4 = 8 > 0,
e observar que \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6 > 0. Como o determinante é positivo e f_{xx} > 0, a Hessiana é positiva definida em (2,6), indicando que esse ponto é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (2,6), que é um mínimo local.

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