Resolva as Equações Diferenciáveis de Variáveis Separáveis:
\left(1+x^{4}\right) d y+x\left(1+4 y^{2}\right) d x=0, y(1)=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de variáveis separáveis
(1+x^{4})\,dy + x\,(1+4y^{2})\,dx = 0,
com condição inicial y(1)=0. Vamos separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Isolando \dfrac{dy}{dx} e separando as variáveis fica
(1+x^{4})\,\frac{dy}{dx} + x\,(1+4y^{2}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x\,(1+4y^{2})}{1+x^{4}}
portanto
\frac{dy}{1+4y^{2}} = -\frac{x\,dx}{1+x^{4}}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
À esquerda, usando a primitiva de \tfrac{1}{1+4y^{2}}:
\int \frac{dy}{1+4y^{2}} = \frac12 \arctan(2y).
À direita, fazemos u=x^{2}, du=2x\,dx:
\int -\frac{x\,dx}{1+x^{4}} = -\frac12 \int \frac{du}{1+u^{2}} = -\frac12 \arctan(u) = -\frac12 \arctan(x^{2}).
Logo a equação integrada é
\frac12\arctan(2y) = -\frac12\arctan(x^{2}) + C \quad\Longrightarrow\quad \arctan(2y) = -\arctan(x^{2}) + C'.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(1)=0:
\arctan(2\cdot0) = -\arctan(1^{2}) + C' \quad\Longrightarrow\quad 0 = -\frac{\pi}{4} + C' \quad\Longrightarrow\quad C' = \frac{\pi}{4}.
Portanto
\arctan(2y) = -\arctan(x^{2}) + \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Isolamos y aplicando a tangente em ambos os lados:
2y = \tan\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4} - \arctan(x^{2})\Bigr).
Usando
\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta},
com \tan(\tfrac{\pi}{4})=1 e \tan(\arctan(x^{2}))=x^{2}, obtém-se
2y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1 - x^{2}}{2\,(1 + x^{2})}.

Resposta

y(x) = \frac{1 - x^{2}}{2\,(1 + x^{2})}.

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