Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int e^{x} \operatorname{sen} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{x}\sin x\,dx.
Esse tipo de integral exige a técnica de integração por partes, e vamos ver que ela leva de volta à própria integral, permitindo resolver por um sistema simples.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{x}\sin x\,dx.
Aplicamos integração por partes escolhendo
u = \sin x,\quad dv = e^{x}dx
então
du = \cos x\,dx,\quad v = e^{x}.
Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
I = e^{x}\sin x \;-\;\int e^{x}\cos x\,dx.

Passo 3

Chamamos
J = \int e^{x}\cos x\,dx,
de modo que
I = e^{x}\sin x \;-\; J.

Passo 4

Para calcular J, repetimos a integração por partes:
u = \cos x,\quad dv = e^{x}dx
implica
du = -\sin x\,dx,\quad v = e^{x}.
Logo
J = e^{x}\cos x \;-\;\int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx = e^{x}\cos x + I.

Passo 5

Substituindo J em I = e^{x}\sin x - J, temos
I = e^{x}\sin x \;-\;(e^{x}\cos x + I) = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I.
Somando I dos dois lados:
2I = e^{x}(\sin x - \cos x) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x - \cos x\bigr) + C.

Resposta

\int e^{x}\sin x\,dx = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x - \cos x\bigr) + C.

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