Resolva as Equações Diferenciáveis de Variáveis Separáveis:
\left(x y^{2}-y^{2}+x-1\right) d x+\left(x^{2} y-2 x y+x^{2}+2 y-2 x+2\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de variáveis separáveis
(xy^2 - y^2 + x - 1)\,dx \;+\; (x^2y - 2xy + x^2 + 2y - 2x + 2)\,dy = 0.
Identificamos
M(x,y) = (x-1)(y^2+1), \quad N(x,y) = (y+1)(x^2 - 2x + 2).
Vamos escrever dy/dx = -M/N e separar as variáveis.

Passo 2

Temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{(x-1)(y^2+1)}{(y+1)(x^2 - 2x + 2)} = -\underbrace{\frac{y^2+1}{y+1}}_{f(y)} \;\cdot\; \underbrace{\frac{x-1}{x^2-2x+2}}_{g(x)}.
Logo a separação fica
\frac{y+1}{y^2+1}\,dy = -\frac{x-1}{x^2-2x+2}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo:
\int \frac{y+1}{y^2+1}\,dy = \int \frac{y}{y^2+1}\,dy + \int \frac{1}{y^2+1}\,dy = \tfrac12 \ln(y^2+1) + \arctan y.
No lado direito, com u = x-1 e du = dx:
\int \frac{x-1}{x^2-2x+2}\,dx = \int \frac{u}{u^2+1}\,du = \tfrac12 \ln(u^2+1) = \tfrac12 \ln\bigl((x-1)^2+1\bigr).

Passo 4

Igualando as duas integrais e incluindo a constante C:
\tfrac12 \ln(y^2+1) + \arctan y = -\tfrac12 \ln\bigl((x-1)^2+1\bigr) + C.
Multiplicando por 2 e rearranjando:
\ln\!\bigl((y^2+1)\,( (x-1)^2+1)\bigr) \;+\;2\,\arctan y = C'.

Resposta

\displaystyle \ln\!\bigl((y^2+1)\bigl((x-1)^2+1\bigr)\bigr) + 2\arctan y = C

Exercícios relacionados