91 Dois diapasões iguais oscilam com uma frequência de 440 Hz . Uma pessoa está situada entre os dois diapasões, em um ponto da reta que liga os dois diapasões. Calcule a frequência de batimento ouvida por essa pessoa (a) se estiver parada e os dois diapasões se moverem no mesmo sentido ao longo da reta com uma velocidade de 3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e (b) se os diapasões estiverem parados e a pessoa se mover ao longo da reta com uma velocidade de 3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá duas fontes idênticas com frequência natural \,f_0=440\text{ Hz}\, e uma pessoa entre elas. Como há diferença nas frequências percebidas pela pessoa (por Doppler), ela ouve batimento cuja frequência é
f_\text{bat}=\bigl|f_1-f_2\bigr|\,.
Para resolver precisamos aplicar a fórmula do efeito Doppler em dois casos: (a) fontes em movimento e ouvinte parado, (b) fontes paradas e ouvinte em movimento. Vamos usar a velocidade do som c=343\text{ m/s} e v_s=v_p=3{,}00\text{ m/s}.

Passo 2

Caso (a): fontes movendo-se à direita com velocidade v_s e ouvinte parado.
Para fonte que se aproxima do ouvinte usa-se
f' = f_0\,\frac{c}{c - v_s}\,,
e para fonte que se afasta
f'' = f_0\,\frac{c}{c + v_s}\,.

Passo 3

Aplicando para f_1 (fonte da esquerda, movendo-se para a direita, aproxima-se):
f_1 = 440\;\frac{343}{343-3} \approx 440\;\frac{343}{340} \approx 443{,}9\text{ Hz}.
Para f_2 (fonte da direita, movendo-se para a direita, afasta-se):
f_2 = 440\;\frac{343}{343+3} \approx 440\;\frac{343}{346} \approx 436{,}1\text{ Hz}.
Logo
f_\text{bat}^{(a)} = |443{,}9 - 436{,}1| \approx 7{,}8\text{ Hz}.

Passo 4

Caso (b): fontes paradas e ouvinte movendo-se à direita com velocidade v_p.
Para ouvinte que se aproxima da fonte da direita:
f_1 = f_0\,\frac{c + v_p}{c}\,,
e para ouvinte que se afasta da fonte da esquerda:
f_2 = f_0\,\frac{c - v_p}{c}\,.

Passo 5

Calculando f_1:
f_1 = 440\;\frac{343 + 3}{343} \approx 440\;\frac{346}{343} \approx 443{,}9\text{ Hz}.
E f_2:
f_2 = 440\;\frac{343 - 3}{343} \approx 440\;\frac{340}{343} \approx 436{,}1\text{ Hz}.
Logo
f_\text{bat}^{(b)} = |443{,}9 - 436{,}1| \approx 7{,}8\text{ Hz}.

Resposta

(a) 7{,}8\text{ Hz}
(b) 7{,}8\text{ Hz}

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