Utilizando a técnica de derivação implícita, e levando em conta que y=f(x), calcule \frac{d y}{d x} na equação abaixo:
x^{2}+y^{2}=x y+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{dy}{dx} para a função implícita
x^{2} + y^{2} = x\,y + 3
usando derivação implícita. Vamos aplicar a derivada em cada termo, lembrando que y = f(x) e usar a regra da cadeia sempre que derivamos algo que envolva y.

Passo 2

Derivando cada termo em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\,\frac{dy}{dx} + y,
\frac{d}{dx}(3) = 0.
Substituindo na equação, fica
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = x\,\frac{dy}{dx} + y.

Passo 3

Agora, juntamos todos os termos que contêm \frac{dy}{dx} num lado e os demais no outro:
2y\,\frac{dy}{dx} - x\,\frac{dy}{dx} = y - 2x.
Fatorando \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx}\,(2y - x) = y - 2x.

Passo 4

Para isolar \frac{dy}{dx}, basta dividir ambos os lados por 2y - x:
\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}.

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