Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 3 y+x=6 e tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}-4 x.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que é perpendicular à reta 3y + x = 6 e simultaneamente tangente ao gráfico da função f(x) = x^2 - 4x. Para resolver isso, vamos usar o conceito de inclinação de reta (coeficiente angular), perpendicularidade de retas e derivada para obter a reta tangente à curva.

Passo 2

Reescrevendo 3y + x = 6 em forma de y:
y = -\frac{1}{3}x + 2.
Logo, a inclinação da reta dada é m_1 = -\tfrac{1}{3}. Uma reta perpendicular a essa deve ter inclinação m_2 tal que
m_1 m_2 = -1,
portanto
m_2 = 3.

Passo 3

A inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=c é dada por f'\text{(c)}. Calculamos:
f'(x) = 2x - 4.
Igualando a inclinação desejada m_2 = 3, temos
2c - 4 = 3 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{7}{2}.

Passo 4

O ponto de tangência é \bigl(c, f\text{(c)}\bigr). Calculamos
f\!\Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{7}{2}\Bigr)^2 - 4\cdot\tfrac{7}{2} = \frac{49}{4} - 14 = -\frac{7}{4}.
A reta tangente com inclinação 3 que passa por \bigl(\tfrac{7}{2}, -\tfrac{7}{4}\bigr) satisfaz
y - \Bigl(-\tfrac{7}{4}\Bigr) = 3\Bigl(x - \tfrac{7}{2}\Bigr).
Rearranjando esta expressão, chega-se a
y = 3x - \frac{49}{4}.

Resposta

A equação da reta requerida é
y = 3x - \frac{49}{4}.

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