4 O sexto harmônico é gerado em um tubo. (a) Quantas extremidades abertas o tubo possui (o tubo deve possuir pelo menos uma)? (b) No ponto médio do tubo existe um nó, um antinó, ou um estado intermediário?

Passo 1

O enunciado diz que no tubo está sendo gerado o sexto harmônico de uma onda estacionária. Pergunta-se: (a) quantas extremidades abertas o tubo possui, sabendo que precisa ter pelo menos uma; (b) se, no ponto médio do tubo, há nó, antinó ou estado intermediário. Para resolver, vamos usar as condições de contorno em tubos (aberto-aberto, aberto-fechado, fechado-fechado) e a relação entre comprimento do tubo e comprimento de onda nos harmônicos.

Passo 2

Em tubos com extremidades diferentes temos:
– Tubo aberto–fechado: só ocorrem harmônicos ímpares n=1,3,5,\dots, com
L = \frac{n\,\lambda}{4}.
– Tubo aberto–aberto ou fechado–fechado: ocorrem todos os harmônicos n=1,2,3,\dots, com
L = \frac{n\,\lambda}{2}.
Como queremos o sexto harmônico n=6, ele não pode existir em tubo aberto–fechado (pois só há n ímpar).

Passo 3

O tubo deve ter pelo menos uma extremidade aberta. A configuração fechado–fechado tem zero extremidades abertas, então só resta o tubo aberto–aberto. Logo o sexto harmônico ocorre nesse tubo, que possui 2 extremidades abertas.

Passo 4

No tubo aberto–aberto para n=6 vale
L = \frac{6\,\lambda}{2} = 3\,\lambda.
Em tubos abertos, antinós ficam nas extremidades e nós nos pontos
x = m\,\frac{\lambda}{2},\quad m=0,1,2,\dots
O ponto médio está em x = L/2 = 3\lambda/2, ou seja m=3, que é posição de nó.

Resposta

(a) 2 extremidades abertas.
(b) No ponto médio há um nó.

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