D. 91 (*)As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G… Se o perímetro é 728. Calcular as medidas dos lados.
Passo 1
O enunciado diz que as medidas dos lados de um triângulo são três números inteiros formados em progressão geométrica e cujo perímetro é
. O conteúdo aqui é progressão geométrica e aplicação da condição de existência de triângulo. Vamos usar: se os lados são
,
e
, então
e ainda deve valer a desigualdade triangular.
Passo 2
Denotando a razão da P.G. por
, temos a soma
Como
e os três termos são inteiros,
deve ser inteiro e
racional tal que
e
também sejam inteiros.
Passo 3
Para existir triângulo, qualquer par de lados soma valor maior que o terceiro. Em particular,
cuja solução em
é
Passo 4
Escrevemos
em forma irredutível, com
e
. Então
logo
Para
inteiro,
deve dividir
. Testando pares
com
, o único que dá divisão exata é
pois
e
inteiro.
Passo 5
Com
e
, obtemos
Logo os lados são
Verificam
e satisfazem as desigualdades triangulares.
Resposta
Os lados medem
,
e
.