D. 91 (*)As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G… Se o perímetro é 728. Calcular as medidas dos lados.

Passo 1

O enunciado diz que as medidas dos lados de um triângulo são três números inteiros formados em progressão geométrica e cujo perímetro é 728. O conteúdo aqui é progressão geométrica e aplicação da condição de existência de triângulo. Vamos usar: se os lados são a, ar e ar^2, então
a + ar + ar^2 = 728
e ainda deve valer a desigualdade triangular.

Passo 2

Denotando a razão da P.G. por r>0, temos a soma
a\,(1 + r + r^2) = 728.
Como a e os três termos são inteiros, a deve ser inteiro e r racional tal que ar e ar^2 também sejam inteiros.

Passo 3

Para existir triângulo, qualquer par de lados soma valor maior que o terceiro. Em particular,
a + ar > ar^2 \quad\Longrightarrow\quad 1 + r > r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 - r - 1 < 0,
cuja solução em r>0 é
0 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx1{,}618.

Passo 4

Escrevemos r = \tfrac{m}{n} em forma irredutível, com m,n\in\mathbb{N} e m<n\cdot\frac{1+\sqrt5}2. Então
1 + r + r^2 = \frac{n^2 + nm + m^2}{n^2},
logo
a = 728 \,\frac{n^2}{n^2 + nm + m^2}.
Para a inteiro, n^2 + nm + m^2 deve dividir 728. Testando pares (m,n) com \tfrac{m}{n}<1{,}618, o único que dá divisão exata é
\frac{m}{n} = \frac{6}{5},
pois n^2+nm+m^2=5^2+5\cdot6+6^2=25+30+36=91 e \,728/91=8 inteiro.

Passo 5

Com r = \tfrac{6}{5} e n^2+nm+m^2=91, obtemos
a = 728\cdot\frac{5^2}{91} = 728\cdot\frac{25}{91} = 8\cdot25 = 200.
Logo os lados são
a = 200,\quad ar = 200\cdot\frac{6}{5} = 240,\quad ar^2 = 240\cdot\frac{6}{5} = 288.
Verificam 200+240+288=728 e satisfazem as desigualdades triangulares.

Resposta

Os lados medem 200, 240 e 288.

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