Determine a equação do plano tangente à superfície
z=1-\frac{1}{4} x^{2}-y^{2} \quad \text { no ponto } \quad\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície
z = 1 - \tfrac14 x^2 - y^2
no ponto P=(1,\tfrac12,\tfrac12).
Conteúdo: para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é obtido pela fórmula da aproximação linear usando as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=1 - \tfrac14 x^2 - y^2.
Temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\tfrac12\,x,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -2\,y.

Passo 3

Avaliar as parciais em (x_0,y_0)=(1,\tfrac12):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,\tfrac12) = -\tfrac12\cdot 1 = -\tfrac12,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,\tfrac12) = -2\cdot \tfrac12 = -1.

Passo 4

Usar a fórmula do plano tangente:
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) \;+\; f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).
Substituindo z_0=\tfrac12, f_x(1,\tfrac12)=-\tfrac12, f_y(1,\tfrac12)=-1, x_0=1, y_0=\tfrac12, obtemos
z - \tfrac12 = -\tfrac12\,(x - 1)\;-\;(y - \tfrac12).
Para simplificar, somamos \tfrac12 em ambos os lados:
z = -\tfrac12\,x - y + \tfrac32.

Resposta

z = -\tfrac12\,x \;-\; y \;+\; \tfrac32.

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