D.63: Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10.000?

Passo 1

O enunciado pede a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10000. Isso forma uma progressão aritmética (PA) de razão 11. Para resolver, vamos:
  1. encontrar o primeiro e o último múltiplo nesse intervalo,
  2. contar quantos termos há,
  3. aplicar a fórmula da soma de PA.

Passo 2

O primeiro múltiplo de 11 maior ou igual a 100 é dado por
9\times 11 = 99 < 100 \quad\text{e}\quad 10\times 11 = 110 \ge 100,
logo a_1 = 110.
O maior múltiplo de 11 menor ou igual a 10000 vem de \lfloor 10000/11\rfloor = 909, então
a_n = 909 \times 11 = 9999.

Passo 3

Os índices dos múltiplos vão de 10 até 909, portanto o número de termos é
n = 909 - 10 + 1 = 900.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma de uma PA:
S = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}.
Substituindo n=900, a_1=110 e a_n=9999:
S = 900 \cdot \frac{110 + 9999}{2} = 900 \cdot 5054{,}5 = 4549050.

Resposta

A soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10000 é 4549050.

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