Em 94)-97) dê o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de a, para os valores indicados de n e a :
f(x)=\operatorname{sen} x, para a=\pi / 2, n=3.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=3 da função f(x)=\operatorname{sen} x em torno de a=\pi/2. O conteúdo aqui é a definição de polinômio de Taylor centrado em a, que exige calcular f(a) e as primeiras três derivadas de f avaliadas em a.

Passo 2

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de a é
P_{3}(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}\,(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}\,(x-a)^{3}.
Logo, precisamos de f(a), f'(a), f''(a) e f'''(a).

Passo 3

Calculemos as derivadas de f(x)=\operatorname{sen} x e avalie-as em a=\pi/2:
f(x)=\operatorname{sen} x
f'(x)=\cos x
f''(x)=-\operatorname{sen} x
f'''(x)=-\cos x
Agora em x=a=\pi/2:
f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
f'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,
f''\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1,
f'''\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula de P_{3}(x):
P_{3}(x) =1 + 0\,(x-\tfrac{\pi}{2}) +\frac{-1}{2!}\,(x-\tfrac{\pi}{2})^{2} +\frac{0}{3!}\,(x-\tfrac{\pi}{2})^{3} =1-\frac{1}{2}\,(x-\tfrac{\pi}{2})^{2}.

Resposta

P_{3}(x)=1-\tfrac{1}{2}\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2}.

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