Use a diferencial para aproximar P=(3,01)^{3}-2(3,01)^{2}+4(3,01)+3, considerando 3,01=3+0,01. Compare com o valor exato de P.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
P = (3,01)^3 - 2\,(3,01)^2 + 4\,(3,01) + 3
usando o diferencial (linearização). Isso envolve escolher um ponto base a (aqui a=3) e um pequeno incremento \mathrm{d}x=0,01, além de calcular a derivada da função
f(x)=x^3 -2x^2 +4x +3
no ponto x=a.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(a)=f(3)=3^3 -2\cdot3^2 +4\cdot3 +3 =27 -18 +12 +3 =24.
Em seguida, a derivada
f'(x)=3x^2 -4x +4
e, portanto,
f'(3)=3\cdot3^2 -4\cdot3 +4 =27 -12 +4 =19.
Pela aproximação linear (diferencial),
f(3+0,01) \approx f(3) + f'(3)\,\mathrm{d}x = 24 + 19\cdot0,01 = 24 + 0,19 = 24,19.

Passo 3

Agora calculamos P exatamente:
3,01^3 =27,270901,\quad 3,01^2=9,0601,
P = 27,270901 -2\cdot9,0601 +4\cdot3,01 +3 =27,270901 -18,1202 +12,04 +3 =24,190701.

Passo 4

Comparando:
\text{Aproximação} = 24,19, \quad \text{Exato} = 24,190701,çã
o erro é
24,190701 - 24,19 =0,000701.

Resposta

Aproximação por diferencial: P\approx24,19.
Valor exato: P=24,190701.
Erro da aproximação: 0,000701.

Exercícios relacionados