O raio do tronco de uma árvore era 15 cm . No decorrer de um ano o perímetro de sua circunferência cresceu 6 cm . Quanto, aproximadamente, cresceu o seu raio? E a área de sua seção transversal?

Passo 1

O enunciado diz que o tronco tem raio inicial r=15,cm e que, num ano, sua circunferência cresceu \Delta C=6,cm. O conteúdo aqui é a relação entre perímetro e raio de um círculo,
C = 2\pi r,
e a área de seção transversal
A = \pi r^2.
Para resolver vamos (1) usar \Delta C = 2\pi\,\Delta r para achar \Delta r e (2) calcular a variação da área
\Delta A = \pi\bigl[(r+\Delta r)^2 - r^2\bigr].

Passo 2

Da relação \Delta C = 2\pi\,\Delta r temos
\Delta r = \frac{\Delta C}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi}\,\text{cm}.
Numericamente,
\Delta r \approx \frac{3}{3{,}1416} \approx 0{,}955\\ \text{cm}.

Passo 3

Para a área,
\Delta A = \pi\bigl[(r+\Delta r)^2 - r^2\bigr] = \pi\bigl[2r\,\Delta r + (\Delta r)^2\bigr].
Substituindo r=15 e \Delta r=3/\pi,
\Delta A = \pi\Bigl[2\cdot15\cdot\frac{3}{\pi} + \Bigl(\frac{3}{\pi}\Bigr)^{2}\Bigr] = 90 + \frac{9}{\pi}\\ \text{cm}^2 \approx 90 + 2{,}86 = 92{,}86\\ \text{cm}^2.
Como (\Delta r)^2 é pequeno, a aproximação linear \Delta A\approx2\pi r\,\Delta r \Delta A\approx90,cm ^2.

Resposta

O raio cresceu aproximadamente 0{,}95,cm.
A área de seção transversal cresceu cerca de 93,cm ^2 (ou, numa aproximação linear, 90,cm ^2).

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