Nos exercícios abaixo, tomando n \in \mathbb{N} em 103), use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-16}{x^{2}+x-20}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 4}\frac{x^{2}-16}{x^{2}+x-20}
usando a Regra de L’Hôpital. Vamos precisar reconhecer o tipo de indeterminação e aplicar derivadas de polinômios.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=4:
\frac{4^{2}-16}{4^{2}+4-20}=\frac{0}{0},
o que é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-16\bigr)=2x,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x-20\bigr)=2x+1.

Passo 4

Aplicando a regra, o limite torna-se
\lim_{x\to 4}\frac{2x}{2x+1} =\frac{2\cdot 4}{2\cdot 4+1} =\frac{8}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{9}

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