Em 94)-97) dê o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de a, para os valores indicados de n e a :
f(x)=\cos x, para a=\pi / 4, n=3.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=3 para a função f(x)=\cos x em torno de a=\pi/4. Vamos usar a fórmula
P_{3}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3}.
Para isso, precisamos das derivadas de f até a terceira ordem e seus valores em x=a.

Passo 2

Compute as derivadas e avalie em a=\pi/4:
f(x)=\cos x
f'(x)=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x.
Agora em x=\pi/4:
f\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\frac{\sqrt2}{2},\quad f'\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=-\frac{\sqrt2}{2},\quad f''\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=-\frac{\sqrt2}{2},\quad f'''\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\frac{\sqrt2}{2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor de ordem 3:
P_{3}(x) =\frac{\sqrt2}{2} +\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr)(x-\tfrac\pi4) +\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{2!}(x-\tfrac\pi4)^{2} +\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{3!}(x-\tfrac\pi4)^{3}.

Passo 4

Simplificando os coeficientes:
\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{2!}=-\frac{\sqrt2}{4},\qquad \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{3!}=\frac{\sqrt2}{12}.
Logo, o polinômio fica
P_{3}(x) =\frac{\sqrt2}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\,(x-\tfrac\pi4) -\frac{\sqrt2}{4}\,(x-\tfrac\pi4)^{2} +\frac{\sqrt2}{12}\,(x-\tfrac\pi4)^{3}.

Resposta

P_{3}(x) =\frac{\sqrt2}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\,(x-\tfrac\pi4) -\frac{\sqrt2}{4}\,(x-\tfrac\pi4)^{2} +\frac{\sqrt2}{12}\,(x-\tfrac\pi4)^{3}.

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