Nos exercícios abaixo, tomando n \in \mathbb{N} em 103), use a Regra de L’Hôpital para calcular os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x - \sin x}.
Ao substituir x=0 no numerador e no denominador, ambos dão zero, gerando a indeterminação \tfrac{0}{0}. Por isso vamos usar a Regra de L’Hôpital, que permite substituir a função original pelo quociente de suas derivadas.

Passo 2

Derivamos numerador e denominador uma vez:
\frac{d}{dx}(\tan x - x)=\operatorname{sec}^2 x - 1,
\frac{d}{dx}(x - \sin x)=1 - \cos x.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2 x - 1}{1 - \cos x}.
Substituindo x=0 novamente obtemos \tfrac{0}{0}, então aplicamos L’Hôpital outra vez.

Passo 3

Derivamos de novo:
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec}^2 x - 1)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x,
\frac{d}{dx}(1 - \cos x)=\sin x.
Assim
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec}^2 x - 1}{1 - \cos x} = \lim_{x\to0}\frac{2\operatorname{sec}^2 x\,\tan x}{\sin x} = \lim_{x\to0}2\operatorname{sec}^2 x\;\frac{\tan x}{\sin x}.

Passo 4

Observando que
\frac{\tan x}{\sin x} =\frac{\sin x/\cos x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x},
temos
2\operatorname{sec}^2 x\;\frac{1}{\cos x} =2\operatorname{sec}^3 x.
No limite x\to0, \sec0=1, logo o valor do limite é 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados