(Distâcia de ponto a conjunto) Se
é um subconjunto de um espaço normado
, definimos a distância de
a
pondo
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define, num espaço normado
e dado um subconjunto
, a função
e pede para provar a equivalência
Vamos usar a definição de fecho (todo entorno de
x contém ponto de
A ) e as propriedades do ínfimo.
Passo 2
Prova de “
Rightarrow ”. Suponha
xinA . Então, por definição de fecho, para todo
varepsilon>0 existe
ain A tal que
|x-a|<varepsilon . Como
seguimos que
Como isso vale para todo
varepsilon>0 , o ínfimo só pode ser
0 . Logo
d(x,A)=0 .
Passo 3
Prova de “
Leftarrow ”. Suponha
d(x,A)=0 . Pelo caráter do ínfimo, isso significa que para todo
varepsilon>0 existe algum
ain A com
Mas isso é exatamente a definição de
x pertencer ao fecho de
A , pois todo entorno aberto de raio
varepsilon em torno de
x intersecta
A . Logo
xinA .
Resposta
Portanto, reunindo as duas implicações, concluímos