(Distâcia de ponto a conjunto) Se A é um subconjunto de um espaço normado X, definimos a distância de x in X a A pondo d(x, A)=inf |x-a|: a in A. Prove que x in barA Leftrightarrow d(x, A)=0.

Passo 1

O enunciado define, num espaço normado X e dado um subconjunto Asubset X, a função
d(x,A)=inf|x-a|:ain A
e pede para provar a equivalência
xinA;Long<=ftrightarrow;d(x,A)=0
Vamos usar a definição de fecho (todo entorno de x contém ponto de A) e as propriedades do ínfimo.

Passo 2

Prova de “ Rightarrow”. Suponha xinA. Então, por definição de fecho, para todo varepsilon>0 existe ain A tal que |x-a|<varepsilon. Como
d(x,A)=inf|x-a|:ain A,
seguimos que
d(x,A)<= |x-a|<varepsilon
Como isso vale para todo varepsilon>0, o ínfimo só pode ser 0. Logo d(x,A)=0.

Passo 3

Prova de “ Leftarrow”. Suponha d(x,A)=0. Pelo caráter do ínfimo, isso significa que para todo varepsilon>0 existe algum ain A com
|x-a|<varepsilon
Mas isso é exatamente a definição de x pertencer ao fecho de A, pois todo entorno aberto de raio varepsilon em torno de x intersecta A. Logo xinA.

Resposta

Portanto, reunindo as duas implicações, concluímos
xinALeftrightarrow d(x,A)=0

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