97 Uma banda com vários instrumentistas dividiu a despesa com a compra de um amplificador que custou R$400,00. Se essa banda tivesse 5 integrantes a menos, cada um pagaria R$ 4,00 a mais. Quantos integrantes há nessa banda?

Passo 1

O enunciado diz que a banda pagou coletivamente R$400,00 divididos igualmente entre n integrantes e que, se tivesse 5 integrantes a menos, cada um pagaria R$ 4,00 a mais. O conteúdo aqui é montar e resolver uma equação racional para encontrar n.

Passo 2

Suponha que a banda tenha n integrantes. Então o valor pago por cada um é
\frac{400}{n}.
Com 5 integrantes a menos, isto é, n-5, o valor por pessoa seria
\frac{400}{n-5},
e sabemos que esse valor é R$ 4,00 maior que o original, ou seja,
\frac{400}{n-5} \;=\;\frac{400}{n} + 4.

Passo 3

Subtraindo \tfrac{400}{n} de ambos os lados e multiplicando por n(n-5) para eliminar denominadores, temos
400n \;-\;400(n-5)\;=\;4\,n(n-5).
Desenvolvendo cada termo:
400n - 400n + 2000 = 4n^2 - 20n
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2000 = 4n^2 - 20n.

Passo 4

Dividindo tudo por 4:
500 = n^2 - 5n
e reorganizando:
n^2 - 5n - 500 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
n = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot1\cdot(-500)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 2000}}{2} = \frac{5 \pm 45}{2}.
Isso dá n = 25 ou n = -20. Desprezamos a raiz negativa pois não faz sentido ter número negativo de pessoas.

Resposta

A banda tem 25 integrantes.

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