98 Calcule dois números inteiros e consecutivos, de modo que a soma dos seus inversos seja igual a \frac{7}{12}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dos inversos seja igual a \tfrac{7}{12}. O conteúdo aqui é montagem e resolução de uma equação racional que leva a um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Seja x o menor dos dois inteiros. Então o outro é x+1. A soma dos inversos é
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{7}{12}.

Passo 3

Para resolver, primeiro somamos as frações à esquerda:
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1 + x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}.
Logo a equação vira
\frac{2x+1}{x(x+1)} = \frac{7}{12}.

Passo 4

Fazemos a regra de três (multiplicamos em cruz) e obtemos
12\,(2x+1) = 7\,x\,(x+1).
Expandindo ambos os lados:
24x + 12 = 7x^2 + 7x.
Reorganizando em forma padrão:
7x^2 + 7x - 24x - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x^2 - 17x - 12 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática \,7x^2 - 17x - 12 = 0:
\Delta = (-17)^2 - 4\cdot7\cdot(-12) = 289 + 336 = 625,
x = \frac{17 \pm \sqrt{625}}{2\cdot7} = \frac{17 \pm 25}{14}.
Isso dá x = \tfrac{42}{14} = 3 ou x = \tfrac{-8}{14} = -\tfrac{4}{7}. Como queremos x inteiro, ficamos com x=3.

Passo 6

O menor número é x=3 e o seguinte é x+1=4. Verificação rápida:
\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}.

Resposta

Os dois números são 3 e 4.

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