99 Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvesse três herdeiros a mais, cada lote diminuiria 20 \mathrm{~m}^{2}. Se houvesse quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria 50 \mathrm{~m}^{2}. Qual é a área do terreno todo, em metro quadrado?

Passo 1

O enunciado diz que um terreno de área total A será dividido em partes iguais entre n herdeiros, de modo que cada um receberá \tfrac{A}{n}. Sabemos que, se houvesse três herdeiros a mais, cada lote ficaria 20, m^{2} menor, e se houvesse quatro herdeiros a menos, cada lote ficaria 50, m^{2} maior. Vamos traduzir isso em equações para encontrar A.

Passo 2

Definimos:
A = área total do terreno ( m^{2}),
n = número original de herdeiros,
x = \tfrac{A}{n} = área de cada lote no caso original.
Assim, A = n\,x.

Passo 3

Primeira condição: se fossem n+3 herdeiros, cada lote seria
\frac{A}{n+3} = x - 20.
Substituindo A = n\,x nessa expressão,
\frac{n\,x}{n+3} = x - 20
gera, ao multiplicar ambos os lados por n+3,
n\,x = (x-20)(n+3).
Expandindo e simplificando, encontramos
n\,x = n\,x +3x -20n -60 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 20n + 60 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{20n + 60}{3}.

Passo 4

Segunda condição: se fossem n-4 herdeiros, cada lote seria
\frac{A}{n-4} = x + 50.
Novamente com A = n\,x,
\frac{n\,x}{n-4} = x + 50
implica, ao multiplicar por n-4,
n\,x = (x+50)(n-4).
Expandindo e simplificando,
n\,x = n\,x -4x +50n -200 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 50n -200 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{50n - 200}{4} = \frac{25n - 100}{2}.

Passo 5

Igualando as duas expressões de x,
\frac{20n + 60}{3} = \frac{25n - 100}{2},
multiplicando em cruz:
2(20n + 60) = 3(25n - 100) \quad\Longrightarrow\quad 40n + 120 = 75n - 300 \quad\Longrightarrow\quad 35n = 420 \quad\Longrightarrow\quad n = 12.

Passo 6

Com n=12, calculamos x por exemplo pela fórmula x = \tfrac{20n+60}{3}:
x = \frac{20\cdot 12 + 60}{3} = \frac{240 + 60}{3} = 100 \text{ m}^2.
Então a área total é
A = n\,x = 12 \times 100 = 1200 \text{ m}^2.

Resposta

1200

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