A razão de dois números positivos é \frac{3}{4}, e a diferença entre seus quadrados é 1183. Determine o menor deles.

Passo 1

O enunciado diz que a razão de dois números positivos é \tfrac{3}{4} e que a diferença entre seus quadrados é 1183. O conteúdo envolve proporção de números e diferença de quadrados, e vamos precisar usar a representação em termos de uma única variável e a identidade
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).

Passo 2

Como a razão entre o menor e o maior é \tfrac{3}{4}, podemos escrever o menor como x=3k e o maior como y=4k, com k>0. Assim, garantimos que \frac{x}{y}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}.

Passo 3

A diferença entre os quadrados é
y^2 - x^2 = (4k)^2 - (3k)^2 = 16k^2 - 9k^2 = 7k^2.
Pelo enunciado, isso vale 1183, logo
7k^2 = 1183 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = \frac{1183}{7} = 169.

Passo 4

Como k>0, temos k = \sqrt{169} = 13. Então os números são
x = 3k = 3\cdot 13 = 39, \quad y = 4k = 4\cdot 13 = 52.

Resposta

O menor dos dois números é 39.

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