Considere a combinação de duas ondas senoidais de mesma amplitude, números de onda k e k^{\prime}, e frequências angulares \omega e \omega^{\prime}. Suponha que k \approx k^{\prime} e \omega \approx \omega^{\prime}. Usando a relação trigonométrica
\operatorname{sen} \alpha \pm \operatorname{sen} \beta=2 \cos \frac{1}{2}(\alpha \mp \beta) \operatorname{sen} \frac{1}{2}(\alpha \pm \beta)
calcule a velocidade de grupo V_{g}.

Passo 1

Temos duas ondas senoidais de mesma amplitude A, números de onda k e k', e frequências angulares \omega e \omega'. O enunciado pede a velocidade de grupo V_{g} na aproximação k\approx k' e \omega\approx \omega'. Vamos usar a relação trigonométrica para somar senos e depois identificar o movimento do envelope (grupo).

Passo 2

Escrevemos a soma das duas ondas como
\Psi(x,t)=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(k'x-\omega't).
Aplicando a identidade
\sin\alpha+\sin\beta =2\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr),
com \alpha=k'x-\omega't e \beta=kx-\omega t, obtemos
\Psi(x,t)=2A\, \cos\!\Bigl(\frac{(k'-k)x-(\omega'-\omega)t}{2}\Bigr) \;\sin\!\Bigl(\frac{(k'+k)x-(\omega'+\omega)t}{2}\Bigr).

Passo 3

Definimos as quantidades
\Delta k = k' - k, \quad \Delta \omega = \omega' - \omega,
e as médias
k_0 = \frac{k'+k}{2}, \quad \omega_0 = \frac{\omega'+\omega}{2}.
Assim,
\Psi(x,t) =2A\, \cos\!\Bigl(\tfrac{\Delta k\,x-\Delta \omega\,t}{2}\Bigr) \;\sin\!\bigl(k_0 x-\omega_0 t\bigr).
A parte \sin(k_0 x-\omega_0 t) oscila rapidamente (onda de fase) e a parte \cos((\Delta k\,x-\Delta \omega\,t)/2) é o envelope que varia lentamente.

Passo 4

Para encontrar a velocidade com que o envelope se desloca, fixamos a fase da envoltória constante:
\frac{\Delta k\,x-\Delta \omega\,t}{2}=\text{constante}.
Derivando em relação ao tempo, mantendo essa fase fixa, obtemos
\Delta k\,\frac{dx}{dt}-\Delta \omega=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} =\frac{\Delta \omega}{\Delta k}.

Passo 5

Na aproximação de pequenas diferenças k'\to k e \omega'\to\omega, podemos passar ao limite diferencial:
V_{g} =\frac{\Delta \omega}{\Delta k} \;\approx\; \frac{d\omega}{dk}.

Resposta

V_{g}=\frac{\Delta \omega}{\Delta k}\approx\frac{d\omega}{dk}.

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