Considere a combinação de duas ondas senoidais de mesma amplitude, números de onda
e
, e frequências angulares
e
. Suponha que
e
. Usando a relação trigonométrica
calcule a velocidade de grupo
.
Passo 1
Temos duas ondas senoidais de mesma amplitude
, números de onda
e
, e frequências angulares
e
. O enunciado pede a velocidade de grupo
na aproximação
e
. Vamos usar a relação trigonométrica para somar senos e depois identificar o movimento do envelope (grupo).
Passo 2
Escrevemos a soma das duas ondas como
Aplicando a identidade
com
e
, obtemos
Passo 3
Definimos as quantidades
e as médias
Assim,
A parte
oscila rapidamente (onda de fase) e a parte
é o envelope que varia lentamente.
Passo 4
Para encontrar a velocidade com que o envelope se desloca, fixamos a fase da envoltória constante:
Derivando em relação ao tempo, mantendo essa fase fixa, obtemos
Passo 5
Na aproximação de pequenas diferenças
e
, podemos passar ao limite diferencial: