Uma roda com 3,0 metros de diametro está girando com uma velocidade angular de 400 \mathrm{rev} / \mathrm{min}.
(a) Qual é a velocidade angular da roda \mathrm{em} \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?
(b) Qual é a velocidade linear de um ponto na borda da roda ?
(c) Que aceleração angular constante ( \mathrm{em} \mathrm{rev} / \mathrm{min}^{2} ) aumenta a velocidade angular da roda para 1000 \mathrm{rev} / \mathrm{min} \mathrm{em} 60,0 segundos ?
(d) Quantas revoluções a roda executa nesse intervalo de 60,0 segundos ?

Passo 1

O enunciado dá uma roda de diâmetro 3,0,m que gira a 400, \mathrm{rev/min} e pede:
(a) a velocidade angular em \mathrm{rad/s};
(b) a velocidade linear de um ponto na borda;
(c) a aceleração angular constante em \mathrm{rev/min^{2}} que leva a roda de 400 a 1000, \mathrm{rev/min} em 60{,}0,s;
(d) o número de revoluções nesse intervalo de 60{,}0,s.
O conteúdo é cinemática rotacional: conversão de unidades, relação v=\omega r, \alpha=\Delta\omega/\Delta t e contagem de voltas via velocidade média.

Passo 2

Para (a), convertemos
\omega_i = 400\;\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}}
para \mathrm{rad/s}. Sabendo que 1, \mathrm{rev}=2\pi,rad e 1, \mathrm{min}=60,s,
\omega_i = 400\;\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}}\times\frac{2\pi\;\mathrm{rad}}{1\;\mathrm{rev}}\times\frac{1\;\mathrm{min}}{60\;\mathrm{s}} =\frac{800\pi}{60}\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} =\frac{40\pi}{3}\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\approx 41,9\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}.

Passo 3

Para (b), usamos v=\omega_i\,r. O raio é
r=\frac{3,0\;\mathrm{m}}{2}=1,5\;\mathrm{m}.
Então
v = \frac{40\pi}{3}\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\times1,5\;\mathrm{m} =20\pi\;\mathrm{m/s}\approx 62,8\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Para (c), a aceleração angular constante em \mathrm{rev/min^{2}} é
\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}.
Em unidades de \mathrm{rev/min}, \Delta\omega=1000-400=600, \mathrm{rev/min}.
O intervalo de 60{,}0,s corresponde a 1,min, logo
\alpha = \frac{600\;\mathrm{rev/min}}{1\;\mathrm{min}} =600\;\mathrm{rev/min^{2}}.

Passo 5

Para (d), o número de revoluções \mathcal{N} em 60{,}0,s (1 min) é dado por velocidade média em \mathrm{rev/min} vezes tempo em minutos. A velocidade média é
\omega_{\text{méd}}=\frac{\omega_i+\omega_f}{2} =\frac{400+1000}{2}=700\;\mathrm{rev/min},é
portanto
\mathcal{N} = 700\;\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}}\times1\;\mathrm{min} =700\;\mathrm{rev}.

Resposta

(a) \displaystyle \omega= \frac{40\pi}{3}\;\mathrm{rad/s}\approx 41,9\;\mathrm{rad/s}.
(b) \displaystyle v=20\pi\;\mathrm{m/s}\approx 62,8\;\mathrm{m/s}.
(c) \displaystyle \alpha=600\;\mathrm{rev/min^{2}}.
(d) \displaystyle 700\;\mathrm{rev}.

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