9a Questão O campo magnético de um ímã cilíndrico com 3,3 \mathrm{~cm} de diâmetro varia senoidalmente entre 29,6 \mathrm{~T} e 30,0 \mathrm{~T} com uma frequência de 15 Hz . (Essa variação é produzida pela corrente em um fio enrolado em um ímã permanente.) Qual é a amplitude do campo elétrico induzido por essa variação a uma distância de 1,6 \mathrm{~cm} do eixo do cilindro?

Passo 1

O enunciado dá um ímã cilíndrico de diâmetro 3,3\\ \text{cm} (logo raio R=1,65\\ \text{cm}) cujo campo magnético varia senoidalmente entre 29,6\\ \text{T} e 30,0\\ \text{T} com frequência 15\\ \text{Hz}. Queremos a amplitude do campo elétrico induzido a r=1,6\\ \text{cm} do eixo. Para isso usamos a Lei de Faraday e a simetria cilíndrica, que leva a um campo elétrico tangencial constante em círculos concêntricos.

Passo 2

A amplitude da variação do campo magnético é
B_0 = \frac{B_{\max}-B_{\min}}{2} = \frac{30,0\\ \text{T} - 29,6\\ \text{T}}{2} = 0,2\\ \text{T}.

Passo 3

A frequência é f=15\\ \text{Hz}, portanto a pulsação é
\omega = 2\pi f = 30\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Para r=1,6\\ \text{cm}<R, a Lei de Faraday num caminho circular de raio r diz
\oint \vec E\cdot d\vec\ell = -\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B=\pi r^2 B(t). Como E é tangencial,
E\,(2\pi r) = -\pi r^2 \frac{dB}{dt} \quad\Longrightarrow\quad E = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.
Para B(t)=B_0\sin(\omega t), a amplitude de \frac{dB}{dt} é B_0\,\omega, logo
E_0 = \frac{r}{2}\,B_0\,\omega.

Passo 5

Substituindo r=1,6\\ \text{cm}=0,016\\ \text{m}, B_0=0,2\\ \text{T} e \omega=30\pi\\ \text{rad/s},
E_0 = \frac{0,016}{2}\times 0,2\times 30\pi \approx0,15\\ \text{V/m}.

Resposta

0,15\\ \text{V/m}

Exercícios relacionados