Considere \mathrm{T}: \mathrm{R}^{4} \rightarrow \mathrm{R}^{3}. Suponha que \mathrm{T}(1,1,0,0)=(2,0,1), \mathrm{T}(0,1,1,0)=(0,2,-1), \mathrm{T}(0,0,1,1)= (1,1,0), \mathrm{T}(1,0,0,1)=(3,-1,2). Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{w}) e o vetor \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{4} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3).

Passo 1

O enunciado diz que \;T\colon\Bbb R^4\to\Bbb R^3 é linear e que, em notação de vetores,
v_{1}=(1,1,0,0),\;T(v_{1})=(2,0,1), \quad v_{2}=(0,1,1,0),\;T(v_{2})=(0,2,-1),
v_{3}=(0,0,1,1),\;T(v_{3})=(1,1,0), \quad v_{4}=(1,0,0,1),\;T(v_{4})=(3,-1,2).
Queremos (a) expressar T(x,y,z,w) para (x,y,z,w)\in\Bbb R^4, e (b) encontrar um vetor v\in\Bbb R^4 tal que T(v)=(4,2,3).

Passo 2

Verificamos que v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente dependentes:
v_{1}+v_{3}=(1,1,0,0)+(0,0,1,1)=(1,1,1,1) \;=\;(0,1,1,0)+(1,0,0,1)=v_{2}+v_{4}.
Como há uma relação não-trivial, esses quatro vetores não formam base de \Bbb R^4. Logo, os valores de T sobre eles não bastam para determinar T de modo único em toda \Bbb R^4.

Passo 3

Para ver a ambiguidade, deixe
T(e_{1})=a,\quad T(e_{2})=b,\quad T(e_{3})=c,\quad T(e_{4})=d,
cada um em \Bbb R^3. Pelas condições do enunciado:
  1. a+b=(2,0,1).
  2. b+c=(0,2,-1).
  3. c+d=(1,1,0).
  4. a+d=(3,-1,2).
Dessas quatro equações de componentes vemos que a última é consequência das três primeiras (elas garantem a+d=(3,-1,2) automaticamente), de modo que sobra um vetor livre, digamos a\in\Bbb R^3 arbitrário. Resolvendo as três primeiras em cadeia:
b=(2,0,1)-a,\quad c=(0,2,-1)-b=(-2,2,-2)+a,\quad d=(1,1,0)-c=(3,-1,2)-a.

Passo 4

Pela linearidade, para (x,y,z,w)\in\Bbb R^4 vale
T(x,y,z,w) =x\,a+y\,b+z\,c+w\,d.
Substituindo b,c,d em função de a, definimos
D \;=\; x - y + z - w.
Então
T(x,y,z,w) = a\,D +\,y\,(2,0,1) +\,z\,(-2,2,-2) +\,w\,(3,-1,2).
Agrupando as partes constantes em (y,z,w), obtemos a forma geral, para certo a=(a_{1},a_{2},a_{3})\in\Bbb R^3 livre:
\boxed{ T(x,y,z,w) = \bigl( a_{1}\,D +2\,y-2\,z+3\,w,\; a_{2}\,D +2\,z-w,\; a_{3}\,D +y-2\,z+2\,w \bigr), } \quad D=x-y+z-w.
Esse é o família de todas as transformações lineares que satisfazem as quatro condições iniciais.

Passo 5

Para achar v=(x,y,z,w)\) com \(T(v)=(4,2,3)\) temos de resolver o sistema em \((x,y,z,w)\): \[\begin{cases} a_{1}\,D+2y-2z+3w=4,\\\ a_{2}\,D+2z-w=2,\\\ a_{3}\,D+y-2z+2w=3,\\\ D=x-y+z-w. \end{cases}
São três equações em quatro incógnitas (mais a definição de D\]), logo há **infinitas** soluções—isto é, existe pelo menos um vetor \(v, mas não é único, e depende da escolha prévia de a. Para cada a que torne o sistema consistente surge um hiperplano de soluções em \Bbb R^4.

Resposta

Não existe forma única de escrever T(x,y,z,w): a transformada geral é
T(x,y,z,w) =\bigl(a_{1}D+2y-2z+3w,\;a_{2}D+2z-w,\;a_{3}D+y-2z+2w\bigr), \quad D=x-y+z-w,
com (a_{1},a_{2},a_{3})\in\Bbb R^3 arbitrário. Consequentemente, o conjunto de vetores v tais que T(v)=(4,2,3) é também uma família infinita, dada pelas soluções do respectivo sistema linear acima.

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