Considere
. Suponha que
. Determine
e o vetor
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é linear e que, em notação de vetores,
Queremos (a) expressar
para
, e (b) encontrar um vetor
tal que
.
Passo 2
Verificamos que
são linearmente dependentes:
Como há uma relação não-trivial, esses quatro vetores não formam base de
. Logo, os valores de
sobre eles não bastam para determinar
de modo único em toda
.
Passo 3
Para ver a ambiguidade, deixe
cada um em
. Pelas condições do enunciado:
-
. -
. -
. -
.
Dessas quatro equações de componentes vemos que a última é consequência das três primeiras (elas garantem
automaticamente), de modo que sobra um vetor livre, digamos
arbitrário. Resolvendo as três primeiras em cadeia:
Passo 4
Pela linearidade, para
vale
Substituindo
em função de
, definimos
Então
Agrupando as partes constantes em
, obtemos a forma geral, para certo
livre:
Esse é o família de todas as transformações lineares que satisfazem as quatro condições iniciais.
Passo 5
Para achar
São três equações em quatro incógnitas (mais a definição de
, mas não é único, e depende da escolha prévia de
. Para cada
que torne o sistema consistente surge um hiperplano de soluções em
.
Resposta
Não existe forma única de escrever
: a transformada geral é
com
arbitrário. Consequentemente, o conjunto de vetores
tais que
é também uma família infinita, dada pelas soluções do respectivo sistema linear acima.