Calcule a área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência x^{2}+y^{2}=4 e dentro da circunferência \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}. \quad\left(\mathrm{A}=2 \frac{\pi}{3}+\sqrt{3}\right. u.a. )

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante que fica fora da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4, (raio 2 centrada na origem) e dentro da circunferência \,x^{2}+y^{2}=4x, (mesmo raio 2, centrada em (2,0)). Este é um problema de cálculo de área em coordenadas polares, pois ambas as curvas são facilmente expressas por r= constante ou r= função de \theta.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad x^2+y^2 = r^2.
A primeira circunferência vira r=2. A segunda, r^2=4r\cos\theta, dá
r = 4\cos\theta.
Como estamos no primeiro quadrante, \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}], e a região está entre r=2 (externo) e r=4\cos\theta (interno).

Passo 3

Precisamos do intervalo de \theta em que 4\cos\theta\ge2, ou seja \cos\theta\ge\tfrac12. Isso vale para
0\le\theta\le\frac{\pi}{3}.
Verificamos também que as duas curvas se cortam em (r,\theta)=(2,\tfrac{\pi}{3}), consistente com x=1,y=\sqrt3.

Passo 4

A área em polares é
A = \int_{\theta=0}^{\pi/3}\!\int_{r=2}^{4\cos\theta} r\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em r:
\int_{2}^{4\cos\theta} r\,dr = \frac12\Bigl[(4\cos\theta)^2 - 2^2\Bigr] = \frac12\bigl(16\cos^2\theta - 4\bigr).
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A = \frac12 \int_{0}^{\pi/3}\bigl(16\cos^2\theta -4\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Vamos separar a integral:
A = \frac12\Bigl(16\!\int_{0}^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta \;-\;4\!\int_{0}^{\pi/3}d\theta\Bigr).
Como \int\cos^2\theta\,d\theta = \tfrac12(\theta + \sin\theta\cos\theta), obtemos
\int_{0}^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta = \frac12\Bigl(\frac{\pi}{3} + \sin\!\tfrac{\pi}{3}\cos\!\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = \frac12\Bigl(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12\Bigr) = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt3}{8}.
Substituindo,
A = \frac12\Bigl[16\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\Bigr) -4\cdot\frac{\pi}{3}\Bigr] = \frac12\Bigl(\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3 - \frac{4\pi}{3}\Bigr) = \frac12\Bigl(\frac{4\pi}{3}+2\sqrt3\Bigr) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt3.

Resposta

\displaystyle A = 2\frac{\pi}{3} + \sqrt{3} unidades de área.

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