Calcule a área da região no primeiro quadrante, fora da circunferência
e dentro da circunferência
.
u.a.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante que fica fora da circunferência
, (raio 2 centrada na origem) e dentro da circunferência
, (mesmo raio 2, centrada em
). Este é um problema de cálculo de área em coordenadas polares, pois ambas as curvas são facilmente expressas por
constante ou
função de
.
Passo 2
Em coordenadas polares usamos
A primeira circunferência vira
. A segunda,
, dá
Como estamos no primeiro quadrante,
, e a região está entre
(externo) e
(interno).
Passo 3
Precisamos do intervalo de
em que
, ou seja
. Isso vale para
Verificamos também que as duas curvas se cortam em
, consistente com
.
Passo 4
A área em polares é
Fazendo a integral em
:
Logo
Passo 5
Vamos separar a integral:
Como
, obtemos
Substituindo,