Seja \mathrm{T}: \mathrm{R}^{4} \rightarrow \mathrm{R}^{4}, com \mathrm{T}(1,0,0,0)=(1,1,0,2), \mathrm{T}(0,1,0,0)=(0,2,1,1), \mathrm{T}(0,0,1,0)=(2,0,-1,0), \mathrm{T}(0,0,0,1)=(1,-1,1,1). Determine a matriz de T e calcule \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{4} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3,5).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4
pelas imagens dos vetores da base canônica \mathrm{e}_1=(1,0,0,0), \mathrm{e}_2=(0,1,0,0), \mathrm{e}_3=(0,0,1,0), \mathrm{e}_4=(0,0,0,1).
Pede-se (a) a matriz de \mathrm{T} na base canônica e
(b) um vetor \mathrm{v}\in\mathbb{R}^4 tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3,5).
Para isso usaremos a definição de matriz de um operador linear
e a resolução de um sistema linear A\mathrm{v}=\mathrm{b}.
Passo 2
A matriz A de \mathrm{T} na base canônica tem como colunas
as imagens de \mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2,\mathrm{e}_3,\mathrm{e}_4.
Temos