Seja \mathrm{T}: \mathrm{R}^{4} \rightarrow \mathrm{R}^{4}, com \mathrm{T}(1,0,0,0)=(1,1,0,2), \mathrm{T}(0,1,0,0)=(0,2,1,1), \mathrm{T}(0,0,1,0)=(2,0,-1,0), \mathrm{T}(0,0,0,1)=(1,-1,1,1). Determine a matriz de T e calcule \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{4} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3,5).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4
pelas imagens dos vetores da base canônica \mathrm{e}_1=(1,0,0,0), \mathrm{e}_2=(0,1,0,0), \mathrm{e}_3=(0,0,1,0), \mathrm{e}_4=(0,0,0,1).
Pede-se (a) a matriz de \mathrm{T} na base canônica e
(b) um vetor \mathrm{v}\in\mathbb{R}^4 tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3,5).
Para isso usaremos a definição de matriz de um operador linear
e a resolução de um sistema linear A\mathrm{v}=\mathrm{b}.

Passo 2

A matriz A de \mathrm{T} na base canônica tem como colunas
as imagens de \mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2,\mathrm{e}_3,\mathrm{e}_4.
Temos
\mathrm{T}(\mathrm{e}_1)=(1,1,0,2),\; \mathrm{T}(\mathrm{e}_2)=(0,2,1,1),\; \mathrm{T}(\mathrm{e}_3)=(2,0,-1,0),\; \mathrm{T}(\mathrm{e}_4)=(1,-1,1,1).
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar \mathrm{v}=(x,y,z,w) tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3,5), montamos o sistema
A\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix},
isto é,
\begin{cases} x \;+\;2z\;+\;w = 4,\\\ x \;+\;2y\;-\;w = 2,\\\ y \;-\;z\;+\;w = 3,\\\\ 2x\;+\;y\;+\;w = 5. \end{cases}

Passo 4

Do sistema, igualamos as duas expressões para x das primeiras duas equações:
x = 4 - 2z - w, \quad x = 2 - 2y + w \;\Longrightarrow\; y - z - w = -1.
A terceira equação dá
y - z + w = 3.
Subtraindo essas duas,
2w = 4 \;\Longrightarrow\; w = 2.
Com w=2, da terceira equação y - z +2=3 vem y - z =1,
isto é, y = z+1.
Substituindo em x = 4 - 2z - w com w=2,
x = 4 - 2z -2 = 2 - 2z.
Finalmente, usamos a quarta equação 2x + y + w =5:
2(2-2z)+(z+1)+2 =5 \;\Longrightarrow\; 4-4z+z+1+2=5 \;\Longrightarrow\; -3z+7=5 \;\Longrightarrow\; z=\tfrac{2}{3}.
Então
y = z+1 = \tfrac{5}{3}, \quad x = 2 - 2z = \tfrac{2}{3}, \quad w = 2.

Resposta

A matriz de \mathrm{T} na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e o vetor \mathrm{v} que satisfaz \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,2,3,5) é
\mathrm{v} = \bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{5}{3},\,\tfrac{2}{3},\,2\bigr).

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