9a Questão Dada a função encontre seu domínio e suas raízes, se houver.

Passo 1

Resumo do enunciado: a função é f(x)=ln(4x^2-3x). O objetivo é achar o domínio (valores de x para os quais f está definida) e as raízes (valores de x tais que f(x)=0).

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que o logaritmo natural só existe se o argumento for estritamente positivo. Logo, precisamos resolver a inequação:
4x^2 - 3x > 0

Passo 3

Fatorando, temos x(4x-3)>0. As raízes da expressão são x=0 e x=tfrac34. Pelo teste de sinais, a inequação se satisfaz quando
x<0ou x>tfrac34

Passo 4

Portanto, o domínio é
(-infty,0)cupl(tfrac34,inftyr)

Passo 5

Para achar as raízes de f, resolvemos f(x)=0, ou seja
ln(4x^2-3x)=0implies 4x^2-3x=1

Passo 6

Isso gera a equação quadrática
4x^2 - 3x -1 = 0

Passo 7

Aplicando a fórmula de Bhaskara ( a=4, b=-3, c=-1) temos:
x=-bpmraizb^2-4ac2a=3pmraiz9+168=3pm58

Passo 8

Logo as soluções são x=1 e x=-tfrac14. Verificando no domínio, ambos satisfazem x<0 ou x>3/4, portanto são raízes válidas.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cupl(tfrac34,inftyr). Raízes: x=-tfrac14 e x=1.

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