Faça o esboço da região
do plano dada pelos seguintes sistemas de desigualdades: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos o esboço da região $ R = R_{1} \cup R_{2} $ no plano, onde $ R_{1} $ e $ R_{2} $ são definidas por sistemas de desigualdades em coordenadas polares. Para resolver isso, precisamos entender como interpretar essas desigualdades e combinar as regiões $ R_{1} $ e $ R_{2} $. Vamos usar conceitos de coordenadas polares, como $ r $ (distância ao ponto) e $ \theta $ (ângulo), além de saber como representar essas desigualdades graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região $ R_{1} $. O sistema de desigualdades é:
Aqui, $ r $ varia de 0 até $ \frac{2}{\cos \theta} $, e $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{4} $ até 0. A desigualdade $ r \leq \frac{2}{\cos \theta} $ pode ser rearranjada para $ r \cos \theta \leq 2 $, que é a equação de uma reta vertical $ x = 2 $ em coordenadas cartesianas.
Então, $ R_{1} $ é a região que está abaixo da linha $ x = 2 $ e entre os ângulos $ -\frac{\pi}{4} $ e 0, ou seja, o quarto quadrante até o eixo positivo $ x $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a região $ R_{2} $. O sistema de desigualdades é:
Aqui, $ r $ está entre $ 2 \sin \theta $ e $ \frac{2}{\cos \theta} $, e $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{4} $. A equação $ r = 2 \sin \theta $ representa um círculo com raio 1 e centro em (0,1) em coordenadas cartesianas, enquanto $ r = \frac{2}{\cos \theta} $ ainda representa a reta vertical $ x = 2 $.
Então, $ R_{2} $ é a região entre o círculo $ r = 2 \sin \theta $ e a reta $ x = 2 $, no primeiro quadrante, entre os ângulos 0 e $ \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
Agora que entendemos $ R_{1} $ e $ R_{2} $ individualmente, vamos combinar as duas regiões para formar $ R = R_{1} \cup R_{2} $. Isso significa que $ R $ inclui todos os pontos que pertencem a $ R_{1} $ ou a $ R_{2} $.
Visualizando isso:
- $ R_{1} $ está no quarto quadrante e se estende até a reta vertical $ x = 2 $.
- $ R_{2} $ está no primeiro quadrante, entre o círculo $ r = 2 \sin \theta $ e a mesma reta vertical $ x = 2 $.
Ao unir essas duas regiões, obtemos uma forma que cobre partes do primeiro e quarto quadrantes, todas limitadas pela reta $ x = 2 $, e conectadas pelo círculo em $ R_{2} $.
Resposta
O esboço da região $ R = R_{1} \cup R_{2} $ no plano consiste em duas partes: no quarto quadrante, uma área que vai do polo até a reta vertical $ x = 2 $ para $ -\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq 0 $, e no primeiro quadrante, a região entre o círculo $ r = 2 \sin \theta $ e a mesma reta $ x = 2 $ para $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} $. Juntas, essas regiões formam uma área contínua limitada pela reta $ x = 2 $ e pelo círculo no primeiro quadrante.