(9pontos: 3 pontos por item) Verdadero ou Falso. Em cada caso, justifique sua resposta:
(a) O conjunto \{(1,1,2),(2,1,2),(7,2,10)\} gera \mathbb{R}^{3};
(3) O conjunto \{(1,2,1,2),(2,1,2,1),(3,2,1,0),(1,2,3,0),(0,0,1,1)\} é uma base do \mathbb{R}^{4};
(c) O conjunto \{(1,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,0,0)\} é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado pede três afirmações de Verdadeiro ou Falso sobre conjuntos de vetores em espaços \mathbb{R}^{n}. O conteúdo envolvido é: geração de \mathbb{R}^{3} por um conjunto de 3 vetores (item (a)); definição de base em \mathbb{R}^{4} (item (b)); e dependência linear (item (c)). Para resolver, vamos usar cálculo de determinante (para rank), argumento de número de vetores versus dimensão e a propriedade de que qualquer conjunto contendo o vetor zero é linearmente dependente.

Passo 2

(a) Para ver se \{(1,1,2),(2,1,2),(7,2,10)\} gera \mathbb{R}^{3}, montamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calculamos o determinante.
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 7 & 2 & 10 \end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot10-2\cdot2)\;-\;1\cdot(2\cdot10-2\cdot7)\;+\;2\cdot(2\cdot2-1\cdot7)
=1\cdot(10-4)\;-\;1\cdot(20-14)\;+\;2\cdot(4-7) =6-6-6=-6\neq0.
Como o determinante é não nulo, o conjunto tem posto 3 e portanto gera \mathbb{R}^{3}. Logo a afirmação é Verdadeira.

Passo 3

(b) Em \mathbb{R}^{4}, uma base precisa ter exatamente 4 vetores linearmente independentes. Aqui o conjunto tem 5 vetores em \mathbb{R}^{4}, logo são necessariamente linearmente dependentes (pois o número de vetores excede a dimensão). Portanto não pode ser base. A afirmação é Falsa.

Passo 4

(c) O conjunto \{(1,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,0,0)\} contém o vetor zero e ainda repete (0,1,1). Qualquer conjunto que contém o vetor zero é automaticamente linearmente dependente. Assim a afirmação é Verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Falso.
(c) Verdadeiro.

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