Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A=(1,-2,3) e os três vértices adjacentes nos pontos B=(2,-1,-3), C=(-1,2,0) e D=(-1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores que saem de
\;A=(1,-2,3) em direção a
\;B=(2,-1,-3),
\;C=(-1,2,0) e
\;D=(-1,1,2).
O conteúdo necessário é o produto misto (ou produto escalar triplo) de vetores, cujo valor absoluto dá o volume.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\,-1-(-2),\,-3-3)=(1,1,-6)
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,\;2-(-2),\;0-3)=(-2,4,-3)
\overrightarrow{AD}=D-A=(-1-1,\;1-(-2),\;2-3)=(-2,3,-1)

Passo 3

Para obter o produto misto, primeiro fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} usando determinante:
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 4 & -3 \\\\ -2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = (4\cdot(-1)-(-3)\cdot3,\; -\bigl((-2)\cdot(-1)-(-3)\cdot(-2)\bigr),\;(-2)\cdot3-4\cdot(-2)) =(5,4,2).

Passo 4

Agora aplicamos o produto escalar entre \overrightarrow{AB} e o vetor acima, e tomamos o valor absoluto:
\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\bigr) =(1,1,-6)\cdot(5,4,2) =1\cdot5+1\cdot4+(-6)\cdot2 =5+4-12=-3.
O volume é o valor absoluto desse resultado, isto é, \bigl|-3\bigr|=3.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 3.

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