Sabendo que seu polinômio caracterítico é p(\lambda)=-(1+\lambda)(1-\lambda)^{2},
(a) ( 5 pontos) ache uma base para osubespaço associado ao autovalor 1 ;
(b) ( 5 pontos) ache uma base ortonomal para o subespaço associado ao autovalor \lambda= -1;
(k) (3 pontos) determine as matrizes P e D tais que A=P D P^{-1}.
cujo polinômio característico é -(\lambda+1)(1-\lambda)^2. Logo, os autovalores são \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1.
Para cada autovalor \lambda precisamos resolver (A-\lambda I)x=0 e escolher as bases pedidas. Depois montamos P com essas vetores próprios e D diagonal com os autovalores.
Passo 2
Queremos o subespaço próprio para \lambda=1, ou seja, resolver
u = \frac{2}{\sqrt{17}}\bigl(-1,\,-\tfrac32,\,1\bigr) = \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{17}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{17}},\,\tfrac{2}{\sqrt{17}}\Bigr).
Uma base ortonormal para \lambda=-1 é \{\,u\}.
Passo 4
Para diagonalizar, tomamos P cujas colunas são vetores próprios escolhidos nas partes (a) e (b), e D diagonal com os autovalores na mesma ordem. Por exemplo, usando as bases:
coluna 1= (1,0,0) para \lambda=1,
coluna 2= (0,1,0) para \lambda=1,
coluna 3= (-1,-\tfrac32,1) para \lambda=-1.
Então
(a) Uma base para o autovalor \lambda=1 é \{(1,0,0),(0,1,0)\}.
(b) Uma base ortonormal para o autovalor \lambda=-1 é \bigl\{(-\tfrac{2}{\sqrt{17}},-\tfrac{3}{\sqrt{17}},\tfrac{2}{\sqrt{17}})\bigr\}.
(k) Pode-se tomar