Mostre que 0 é autovalor do operador
se e somente se
é não-inversível.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador linear
tem
como autovalor se, e somente se,
não é invertível. O que vamos usar é que, em dimensão finita, um operador é invertível exatamente quando seu núcleo é
, e que
é autovalor se existe vetor não-nulo
tal que
.
Passo 2
Suponha que
seja não-invertível. Em espaço de dimensão finita, isso significa que
ou seja, existe
com
. Mas então
satisfaz a definição de autovetor de
associado ao autovalor
. Logo,
é autovalor de
.
Passo 3
Agora suponha que
seja autovalor de
. Por definição, existe vetor
tal que
Isso mostra que
e
, portanto
. Em dimensão finita, isso impede que
seja injetora e, consequentemente, que seja invertível. Assim,
não é invertível.
Passo 4
Combinando os dois sentidos, estabelecemos a equivalência desejada:
Resposta
Mostramos que
é autovalor de
se, e somente se,
não é invertível.