Mostre que 0 é autovalor do operador T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} se e somente se T é não-inversível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador linear T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n tem 0 como autovalor se, e somente se, T não é invertível. O que vamos usar é que, em dimensão finita, um operador é invertível exatamente quando seu núcleo é \{0\}, e que 0 é autovalor se existe vetor não-nulo v tal que T(v)=0.

Passo 2

Suponha que T seja não-invertível. Em espaço de dimensão finita, isso significa que
\ker(T)\neq\{0\},
ou seja, existe v\neq 0 com T(v)=0. Mas então v satisfaz a definição de autovetor de T associado ao autovalor 0. Logo, 0 é autovalor de T.

Passo 3

Agora suponha que 0 seja autovalor de T. Por definição, existe vetor v\neq 0 tal que
T(v)=0\cdot v=0.
Isso mostra que v\in\ker(T) e v\neq0, portanto \ker(T)\neq\{0\}. Em dimensão finita, isso impede que T seja injetora e, consequentemente, que seja invertível. Assim, T não é invertível.

Passo 4

Combinando os dois sentidos, estabelecemos a equivalência desejada:
0\text{ é autovalor de }T \quad\Longleftrightarrow\quad T\text{ não é invertível}.éãéí

Resposta

Mostramos que 0 é autovalor de T se, e somente se, T não é invertível.

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