Considere o plano x-3 y+2 z=0.
a) Encontre uma base para este plano.
b) Ache a equação do plano paralelo ao plano acima que passa pelo ponto P=(1,-2,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
x - 3y + 2z = 0
e pede:
(a) uma base de vetores que gerem esse plano;
(b) a equação de um plano paralelo a esse e que passe por P = (1,-2,1).
O conteúdo usado será geometria analítica no espaço, em particular vetor normal a um plano e parametrização.

Passo 2

Da equação canônica
x - 3y + 2z = 0
vemos que o vetor normal é
\mathbf{n} = (1,\,-3,\,2).
Para encontrar uma base do plano, precisamos de dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} tais que
\mathbf{n}\cdot \mathbf{v} = 0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}\cdot \mathbf{w} = 0.

Passo 3

Uma forma prática é parametrizar o plano por
y = s,\quad z = t,
e então
x = 3s - 2t
de modo que um ponto genérico seja
(x,y,z) = (3s - 2t,\;s,\;t) = s\,(3,1,0)\;+\;t\,(-2,0,1).
Logo, os vetores
(3,1,0) \quad\text{e}\quad (-2,0,1)
são linearmente independentes e satisfazem \mathbf{n}\cdot(3,1,0)=0 e \mathbf{n}\cdot(-2,0,1)=0, formando uma base do plano.

Passo 4

Um plano paralelo deve ter o mesmo vetor normal \mathbf{n}=(1,-3,2), isto é, equação
x - 3y + 2z + D = 0.
Como ele deve passar por P=(1,-2,1), substituímos:
1 -3\cdot(-2) + 2\cdot1 + D = 0 \;\Longrightarrow\; 1 + 6 + 2 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -9.
Portanto a equação do plano paralelo é
x - 3y + 2z - 9 = 0,
ou equivalentemente
x - 3y + 2z = 9.

Resposta

(a) \{(3,1,0),\,(-2,0,1)\}
(b) x - 3y + 2z = 9

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