Sejam
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{lll} 0 & 3 & 6 \\\\ 8 & 7 & 3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{lll} 4 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right],
calcule 5\left(A-\frac{1}{3} B\right)+C.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{lll} 0 & 3 & 6 \\\\ 8 & 7 & 3 \end{array}\right],\quad C=\left[\begin{array}{lll} 4 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right]
e pede para calcular a expressão 5\left(A-\dfrac{1}{3}B\right)+C.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (passo a passo, como se fosse na prova):
  • Multiplicação de uma matriz por um escalar: multiplicar cada entrada da matriz pelo escalar. Ou seja, se M=(m_{ij}) então kM=(k m_{ij}).
  • Soma e subtração de matrizes: somam-se ou subtraem-se as entradas correspondentes. Se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}) então M\pm N=(m_{ij}\pm n_{ij}).
    Essas operações são feitas entrada a entrada, linha por linha e coluna por coluna. Exemplo rápido: se X=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} então 2X=\begin{pmatrix}2&4\\\ 6&8\end{pmatrix} e X-\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&3\end{pmatrix}.

Passo 3

Primeiro calculo \dfrac{1}{3}B aplicando a divisão por 3 em cada entrada de B. Usando as entradas de B,
\frac{1}{3}B=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{lll} 0 & 3 & 6 \\\\ 8 & 7 & 3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{6}{3} \\\ \frac{8}{3} & \frac{7}{3} & \frac{3}{3} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\\ \frac{8}{3} & \frac{7}{3} & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora faço a subtração A-\dfrac{1}{3}B subtraindo entrada a entrada (uso as entradas de A e as que acabei de calcular para \dfrac{1}{3}B):
A-\frac{1}{3}B= \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\\ \frac{8}{3} & \frac{7}{3} & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1-0 & 2-1 & 3-2 \\\\ 5-\frac{8}{3} & 1-\frac{7}{3} & 3-1 \end{array}\right].
Calculando cada entrada:
5-\frac{8}{3}=\frac{15-8}{3}=\frac{7}{3},\qquad 1-\frac{7}{3}=\frac{3-7}{3}=-\frac{4}{3}.
Portanto
A-\frac{1}{3}B= \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ \frac{7}{3} & -\frac{4}{3} & 2 \end{array}\right].

Passo 5

Multiplico essa matriz por 5, aplicando o escalar a cada entrada:
5\left(A-\frac{1}{3}B\right)=5\cdot \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ \frac{7}{3} & -\frac{4}{3} & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 5\cdot 1 & 5\cdot 1 & 5\cdot 1 \\\\ 5\cdot\frac{7}{3} & 5\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) & 5\cdot 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 5 \\\ \frac{35}{3} & -\frac{20}{3} & 10 \end{array}\right].

Passo 6

Finalmente somo 5\left(A-\dfrac{1}{3}B\right) com C, entrada a entrada. Usando C fornecida:
5\left(A-\frac{1}{3}B\right)+C= \left[\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 5 \\\ \frac{35}{3} & -\frac{20}{3} & 10 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc} 4 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 5+4 & 5+4 & 5+5 \\\ \frac{35}{3}+1 & -\frac{20}{3}+2 & 10+0 \end{array}\right].
Calculo as entradas com frações:
\frac{35}{3}+1=\frac{35+3}{3}=\frac{38}{3},\qquad -\frac{20}{3}+2=-\frac{20-6}{3}=-\frac{14}{3}.
Logo a matriz final é
\left[\begin{array}{ccc} 9 & 9 & 10 \\\ \frac{38}{3} & -\frac{14}{3} & 10 \end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{ccc} 9 & 9 & 10 \\\ \frac{38}{3} & -\frac{14}{3} & 10 \end{array}\right]

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