De acordo com a definição de adição de vetores temos A B+B C=A C, para quaisquer pontos A, B, C. Então, explique por que:
P1 P2+P2 P3+ldots+Pn-1 Pn=P1 Pn, forall P1, P2, ldots, Pn.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer sequência de pontos P1,P2,dots,Pn, a soma dos vetores sucessivos
P1P2+P2P3+cdots+Pn-1Pn
é igual ao vetor direto P1Pn. Vamos usar a propriedade fundamental
A B+B C=A C
e a associatividade da soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, verificamos o caso n=3. Aplicando diretamente a definição em A=P1, B=P2, C=P3, obtemos
P1P2+P2P3 =P1P3
Isso confirma a propriedade para três pontos.

Passo 3

Agora olhemos o caso n=4. Escrevemos
l(P1P2+P2P3r) +P3P4
pela associatividade podemos agrupar como
P1P3+P3P4
e então aplicar a definição com A=P1, B=P3, C=P4:
P1P3+P3P4 =P1P4
Logo a propriedade vale para quatro pontos.

Passo 4

Para passar ao caso geral fazemos prova por indução sobre k>=3.
Hipótese de indução: suponha que para algum k qualquer vale
sumi=1^k-1PiPi+1 =P1Pk
Então, ao acrescentar o termo PkPk+1, pela associatividade e pela regra A B+B C=A C com A=P1, B=Pk, C=Pk+1, segue
l(sumi=1^k-1PiPi+1r) +PkPk+1 =P1Pk+PkPk+1 =P1Pk+1
Assim a propriedade se estende de k para k+1.

Resposta

Como o caso base ( n=3) está verificado e o passo de indução foi feito, concluímos que para todo n>=2 vale
P1P2+P2P3+cdots+Pn-1Pn =P1Pn

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