A1. Para o limite
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A função que aparece dentro do limite é
. - O ponto de interesse é
. - A única pergunta é: qual é o valor do limite
?
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada passo a passo): limites respeitam soma, produto e multiplicação por constante. Isso significa, de forma prática, que se
e
existem, então valem as regras
e, em particular, para potências inteiras positivas,
Por que isso é razoável? Intuição rápida: se
e
ficam próximos de seus limites quando
está perto de
, então suas somas, produtos e potências também ficam próximas das somas, produtos e potências dos limites. Essas regras são corolários formais da definição de limite (epsilon–delta), mas aqui vamos usá-las como ferramentas básicas — elas aparecem cedo em cálculo porque são simples e muito úteis na prova e na resolução de exercícios.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso caso: escrevemos a expressão como soma de termos fáceis de tratar:
Pelas regras de limite acima, temos
Aqui usei que multiplicação por constante sai do limite (por exemplo,
) e que o limite de uma soma é a soma dos limites.
Passo 4
Agora calculamos cada limite simples:
- Primeiro,
. (Isto é óbvio: a função identidade é contínua, ou, intuitivamente, ao aproximar de o valor de tende a .) - Pelo fato das potências,
. - Para o termo linear com constante,
. - E o limite de constante é a própria constante:
.
Passo 5
Somando os resultados obtidos:
Fazendo a conta:
Passo 6
Comentário final (didático e motivador): o que acabamos de usar é a ideia de continuidade de polinômios — toda função polinomial é contínua em todo ponto real, então basta substituir
para obter
. Na prova, quando aparecer limite de polinômio em um ponto, o atalho seguro é avaliar o polinômio naquele ponto. Se a expressão fosse mais complicada (por exemplo com divisão por algo que vira zero), aí teríamos que investigar com mais cuidado; mas aqui não há divisão por zero nem indeterminação, então a substituição direta funciona.