A1. Para o limite
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{3}-3 x+4\right)=6

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2}\bigl(x^{3}-3x+4\bigr).
Informações dadas:
  • A função que aparece dentro do limite é f(x)=x^{3}-3x+4.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • A única pergunta é: qual é o valor do limite \lim_{x\to 2}\bigl(x^{3}-3x+4\bigr)?

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada passo a passo): limites respeitam soma, produto e multiplicação por constante. Isso significa, de forma prática, que se \lim_{x\to a} g(x) e \lim_{x\to a} h(x) existem, então valem as regras
\lim_{x\to a}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\lim_{x\to a}g(x)+\lim_{x\to a}h(x),
\lim_{x\to a}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot\lim_{x\to a}g(x)\quad\text{(para constante \(c\))},
\lim_{x\to a}\bigl(g(x)\cdot h(x)\bigr)=\lim_{x\to a}g(x)\cdot\lim_{x\to a}h(x),
e, em particular, para potências inteiras positivas,
\lim_{x\to a}\bigl(g(x)\bigr)^{n}=\bigl(\lim_{x\to a}g(x)\bigr)^{n}.
Por que isso é razoável? Intuição rápida: se g(x) e h(x) ficam próximos de seus limites quando x está perto de a, então suas somas, produtos e potências também ficam próximas das somas, produtos e potências dos limites. Essas regras são corolários formais da definição de limite (epsilon–delta), mas aqui vamos usá-las como ferramentas básicas — elas aparecem cedo em cálculo porque são simples e muito úteis na prova e na resolução de exercícios.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso: escrevemos a expressão como soma de termos fáceis de tratar:
x^{3}-3x+4 = \bigl(x^{3}\bigr) + \bigl(-3x\bigr) + 4.
Pelas regras de limite acima, temos
\lim_{x\to 2}\bigl(x^{3}-3x+4\bigr) = \lim_{x\to 2}x^{3} - 3\lim_{x\to 2}x + \lim_{x\to 2}4.
Aqui usei que multiplicação por constante sai do limite (por exemplo, -3\lim_{x\to 2}x) e que o limite de uma soma é a soma dos limites.

Passo 4

Agora calculamos cada limite simples:
  • Primeiro, \lim_{x\to 2}x = 2. (Isto é óbvio: a função identidade x é contínua, ou, intuitivamente, ao aproximar x de 2 o valor de x tende a 2.)
  • Pelo fato das potências, \lim_{x\to 2}x^{3} = \bigl(\lim_{x\to 2}x\bigr)^{3} = 2^{3} = 8.
  • Para o termo linear com constante, \lim_{x\to 2}(-3x) = -3\cdot\lim_{x\to 2}x = -3\cdot 2 = -6.
  • E o limite de constante é a própria constante: \lim_{x\to 2}4 = 4.

Passo 5

Somando os resultados obtidos:
\lim_{x\to 2}\bigl(x^{3}-3x+4\bigr) = 8 + (-6) + 4.
Fazendo a conta:
8 - 6 + 4 = 2 + 4 = 6.

Passo 6

Comentário final (didático e motivador): o que acabamos de usar é a ideia de continuidade de polinômios — toda função polinomial é contínua em todo ponto real, então basta substituir x=a para obter \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Na prova, quando aparecer limite de polinômio em um ponto, o atalho seguro é avaliar o polinômio naquele ponto. Se a expressão fosse mais complicada (por exemplo com divisão por algo que vira zero), aí teríamos que investigar com mais cuidado; mas aqui não há divisão por zero nem indeterminação, então a substituição direta funciona.

Resposta

6

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