1. Para o limite
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{x}=2

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre e^{2x}-1 e x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    A resposta esperada é um número real (o valor do limite).

Passo 2

Entendimento de uma propriedade fundamental que vamos usar: o limite básico
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Por que isso é verdade? Vou explicar de duas maneiras curtas e intuitivas (escolha a que você achar mais clara):
Método A — série de Taylor (ideia prática):
  • A exponencial tem a expansão em série ao redor de 0:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
  • Subtraindo 1 e dividindo por t
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{3!}+\cdots.
  • Quando t\to 0, todos os termos com potências de t vão para 0, portanto a soma tende a 1. Assim
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Método B — definição de derivada (ligação com geometria):
  • A derivada de f(t)=e^{t} em t=0 é
f'(0)=\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-e^{0}}{t-0}=\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}.
  • Como a derivada de e^{t} é e^{t}, temos f'(0)=e^{0}=1. Logo o limite é 1.
Ambas as justificativas mostram que a relação acima é válida e que o limite é 1.

Passo 3

Aplicação direta ao nosso limite com mudança de variável (substituição), que é um truque simples e muito usado em provas.
Defina \,u=2x. Quando x\to 0 então u\to 0. Reescrevendo a expressão:
\frac{e^{2x}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{x}.
Agora divida e multiplique por u:
\frac{e^{u}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Como u=2x, tem-se
\frac{u}{x}=2,
então
\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 4

Tomando limite em ambos os lados quando x\to 0 (equivalente a u\to 0) e usando a propriedade do Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=2\cdot 1=2.
Assim o limite vale 2.

Passo 5

Observação alternativa (útil na prova): pode-se também aplicar a regra de l’Hôpital, porque ao substituir x=0 obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}. Diferenciando numerador e denominador:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x} (regra da cadeia),
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}x=1.
    Logo, pela regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{1}=2e^{0}=2,
mesmo resultado. É bom conhecer os dois caminhos (substituição + limite básico e l’Hôpital).

Resposta

2

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