- Para o limite
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a razão entre
e . - O ponto de interesse é
.
A resposta esperada é um número real (o valor do limite).
Passo 2
Entendimento de uma propriedade fundamental que vamos usar: o limite básico
Por que isso é verdade? Vou explicar de duas maneiras curtas e intuitivas (escolha a que você achar mais clara):
Método A — série de Taylor (ideia prática):
- A exponencial tem a expansão em série ao redor de
:
- Subtraindo
e dividindo por dá
- Quando
, todos os termos com potências de vão para , portanto a soma tende a . Assim
Método B — definição de derivada (ligação com geometria):
- A derivada de
em é
- Como a derivada de
é , temos . Logo o limite é .
Ambas as justificativas mostram que a relação acima é válida e que o limite é
.
Passo 3
Aplicação direta ao nosso limite com mudança de variável (substituição), que é um truque simples e muito usado em provas.
Defina
. Quando
então
. Reescrevendo a expressão:
Agora divida e multiplique por
:
Como
, tem-se
então
Passo 4
Tomando limite em ambos os lados quando
(equivalente a
) e usando a propriedade do Passo 2:
Assim o limite vale
.
Passo 5
Observação alternativa (útil na prova): pode-se também aplicar a regra de l’Hôpital, porque ao substituir
obtemos a forma indeterminada
. Diferenciando numerador e denominador:
- derivada do numerador:
(regra da cadeia), - derivada do denominador:
.
Logo, pela regra de l’Hôpital,
mesmo resultado. É bom conhecer os dois caminhos (substituição + limite básico e l’Hôpital).