Exercício 12. Encontre o domínio da função.
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função \,f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,.
Informações dadas: a expressão da função é \dfrac{1}{\sqrt{x}}. A pergunta é: para quais valores reais de x essa expressão faz sentido (isto é, está bem definida como número real)?

Passo 2

Identificar as condições que devem valer para a expressão estar bem definida. Há duas restrições típicas aqui:
  • A raiz quadrada \sqrt{x} só está definida como número real quando o radicando é maior ou igual a zero. Em símbolos: é necessário \,x\ge 0. (Explicação rápida: \sqrt{x} representa a raiz quadrada principal; para números reais não existe raiz quadrada de um número negativo.)
  • O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida. Então é necessário \,\sqrt{x}\neq 0.

Passo 3

Transformar a segunda condição em termos de x. A condição \,\sqrt{x}\neq 0 é equivalente a x\neq 0, porque \sqrt{x}=0 exatamente quando x=0. Logo temos duas condições simultâneas:
x\ge 0 \qquad\text{e}\qquad x\neq 0.

Passo 4

Combinar as duas condições. A interseção de \{x\mid x\ge 0\} com \{x\mid x\neq 0\} é simplesmente \{x\mid x>0\}. Em intervalos isso é (0,\infty).

Passo 5

Verificação por exemplos para fixar a ideia:
  • x=4: \sqrt{4}=2 e f(4)=\dfrac{1}{2} (ok).
  • x=0: \sqrt{0}=0 e \dfrac{1}{0} é indefinido (portanto x=0 não pertence ao domínio).
  • x=-1: \sqrt{-1} não é real, então x=-1 também não pertence ao domínio.

Resposta

(0,\infty)

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