1. \lim _{x \rightarrow-1}\left(x^{4}-3 x\right)\left(x^{2}+5 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow-1}\left(x^{4}-3x\right)\left(x^{2}+5x+3\right).
Informações dadas e o que está explícito no enunciado:
  • A expressão cujo limite queremos é o produto de duas expressões em x: \left(x^{4}-3x\right) e \left(x^{2}+5x+3\right).
  • O ponto de aproximação é x\rightarrow-1.
  • É pedido o valor numérico do limite.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Uma maneira prática de calcular limites de expressões algébricas é verificar se podemos aplicar a substituição direta: se cada fator da expressão tem limite quando x\rightarrow a e esses limites são finitos, então o limite do produto é o produto dos limites.
  • Além disso, funções polinomiais (como \,x^{4}-3x e \,x^{2}+5x+3) são contínuas em todos os pontos. Continuar significa, de modo simples, que o limite quando x tende a um ponto é exatamente o valor da função nesse ponto. Por isso, para polinômios podemos calcular o limite apenas substituindo x pelo valor pedido.
  • Em linguagem prática: se f e g são polinômios, vale
\lim_{x\rightarrow a} f(x)g(x)=\left(\lim_{x\rightarrow a} f(x)\right)\left(\lim_{x\rightarrow a} g(x)\right)
e cada limite à direita é simplesmente f(a) e g(a).

Passo 3

Aplicando a ideia: calcular o valor de cada fator em x=-1.
Calcular \left(x^{4}-3x\right) em x=-1:
(-1)^{4}-3(-1)=1+3=4.
Calcular \left(x^{2}+5x+3\right) em x=-1:
(-1)^{2}+5(-1)+3=1-5+3=-1.

Passo 4

Usar a propriedade do limite do produto (ou simplesmente multiplicar os valores, já que os fatores são contínuos em -1):
\lim_{x\rightarrow-1}\left(x^{4}-3x\right)\left(x^{2}+5x+3\right)=4\cdot(-1)=-4.

Passo 5

Pequeno comentário de reforço (um truque útil na prova): sempre que a expressão for polinomial ou quociente de polinômios e o denominador não for zero no ponto, a substituição direta funciona. Exemplo rápido: \lim_{x\rightarrow2}(x-2)(x^{2}+1)=0 porque (x-2) tende a 0 e o outro fator tende a 5; produto vale 0\cdot5=0.

Resposta

-4

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